Квадратурная формула. Квадратурный процесс

Выберем на отрезке точки . Формула численного интегрирования

называется квадратурной. Величины R, называются коэффициентами (весовыми коэффициентами) квадратурной формулы; - узлами квадратурной формулы. Обычно требуют, чтобы

Разность

называется погрешностью (функционалом погрешности) квадратурной формулы (2).

Важно знать, для каких классов функций погрешность обращается в нуль. Равенство (3) означает, что квадратурная формула (2) точна на константах , если для . Будем говорить, что квадратурная формула точна на многочленах степени , если для любой функции , где - пространство многочленов степени не выше .

Квадратурная формула (2) содержит параметров: и . Если для каждого N выбрать свои узлы и коэффициенты , то получим квадратурный процесс:

Квадратурный процесс (5) называется сходящимся, если для любой функции погрешность квадратурной формулы при . Это означает, что последовательность функционалов погрешности сходится к нулю на каждом элементе (см. [4], стр. 165).

Замечание 1. , , являются линейными непрерывными (ограниченными) функционалами на :

, , .

Из последнего равенства следует, что последовательность функционалов погрешности не может равномерно сходиться к нулю при .

Из теоремы Банаха-Штейнгауса ( см. [4], с. 134, с. 166)немедленно получаем условие сходимости квадратурного процесса:

Теорема 1. Для того чтобы квадратурный процесс (5) сходился, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

1) при для любой функции , где - множество, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в ;

2) существует константа такая, что для всех N.

Дата добавления: 2014-11-18