Квадратурные формулы Гаусса

Формула трех восьмых

Формула Симпсона (парабол)

Формула трапеций

Если , то .

Если , то

Если , то

Пусть требуется построить квадратурнуюформулу с узлами, имеющую максимально возможный алгебраический порядок точности. Нужно определить параметра квадратурной формулы: узлы и коэффициенты .

Ясно, что наивысший алгебраический порядок точности квадратурной формулы с узлами не может быть выше, чем . Действительно, возьмем многочлен степени . Тогда но и, следовательно, погрешность квадратурной формулы .

Теперь мы можем попытаться построить квадратурную формулу с алгебраическим порядком точности .

Теорема 3. Для того чтобы квадратурная формула (2) с узлами имела алгебраический порядок точности , необходимо и достаточно, чтобы многочлен степени был ортогонален на любому многочлену степени меньшей или равной , то есть для любого многочлена

Квадратурная формула с узлами, имеющая алгебраический порядок точности , называется квадратурной формулой Гаусса или квадратурной формулой наивысшего алгебраического порядка точности. Очевидно, что квадратурная формула Гаусса является интерполяционной.

Для любого N многочлен степени , удовлетворяющий условию ортогональности (14), имеющий вещественные и различные корни , существует и единственен. Поэтому квадратурная формула Гаусса может быть построена.

Для коэффициентов квадратурной формулы Гаусса верно следующее равенство

Следовательно, все и Отсюда и из теоремы 2 вытекает сходимость квадратурного процесса, порожденного квадратурной формулой Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса дает высокую точность в том случае, когда подинтегральная функция в окрестности отрезка интегрирования обладает высоким порядком гладкости.

Погрешность квадратурной формулы Гаусса для имеет вид

Исторически первым примером квадратурной формулы, имеющей наивысший алгебраический порядок точности, была формула Гаусса для отрезка . Для построения квадратурной формулы использовалась система ортогональных многочленов Лежандра.

Многочлены вида

называются многочленами Лежандра. Из (16) следует, что является многочленом степени .

Многочлены Лежандра обладают следующими свойствами:

1. Многочлен ортогонален на отрезке любому многочлену степени меньше : для любого .

2. Все корни многочлена вещественные, различные и расположены на интервале .

3. Многочлены образуют ортогональную систему на : при и при .

4. Имеет место рекуррентная формула:

Формула (17) позволяет, используя равенства и , найти многочлен Лежандра любой степени.

Если известны корни многочлена Лежандра , то, используя (15), получаем квадратурную формулу Гаусса

где

Таблицы узлов и коэффициентов формулы (18) приведены в [3]. Отметим, что корни многочленов Лежандра и коэффициенты квадратурной формулы (18) обладают симметрией на относительно точки .

Пересчет узлов и коэффициентов квадратурной формулы на произвольный отрезок осуществляется с помощью замены переменной :

Таким образом, из (18) получаем квадратурную формулу Гаусса для произвольного отрезка

где корни многочлена Лежандра .

Дата добавления: 2014-11-18