Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Квадратурные формулы Гаусса




Формула трех восьмых

Формула Симпсона (парабол)

Формула трапеций

Если , то .

 

Если , то

Если , то

Пусть требуется построить квадратурнуюформулу с узлами, имеющую максимально возможный алгебраический порядок точности. Нужно определить параметра квадратурной формулы: узлы и коэффициенты .

Ясно, что наивысший алгебраический порядок точности квадратурной формулы с узлами не может быть выше, чем . Действительно, возьмем многочлен степени . Тогда но и, следовательно, погрешность квадратурной формулы .

Теперь мы можем попытаться построить квадратурную формулу с алгебраическим порядком точности .

Теорема 3. Для того чтобы квадратурная формула (2) с узлами имела алгебраический порядок точности , необходимо и достаточно, чтобы многочлен степени был ортогонален на любому многочлену степени меньшей или равной , то есть для любого многочлена

Квадратурная формула с узлами, имеющая алгебраический порядок точности , называется квадратурной формулой Гаусса или квадратурной формулой наивысшего алгебраического порядка точности. Очевидно, что квадратурная формула Гаусса является интерполяционной.

Для любого N многочлен степени , удовлетворяющий условию ортогональности (14), имеющий вещественные и различные корни , существует и единственен. Поэтому квадратурная формула Гаусса может быть построена.

Для коэффициентов квадратурной формулы Гаусса верно следующее равенство

Следовательно, все и Отсюда и из теоремы 2 вытекает сходимость квадратурного процесса, порожденного квадратурной формулой Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса дает высокую точность в том случае, когда подинтегральная функция в окрестности отрезка интегрирования обладает высоким порядком гладкости.

Погрешность квадратурной формулы Гаусса для имеет вид

Исторически первым примером квадратурной формулы, имеющей наивысший алгебраический порядок точности, была формула Гаусса для отрезка . Для построения квадратурной формулы использовалась система ортогональных многочленов Лежандра.

Многочлены вида

называются многочленами Лежандра. Из (16) следует, что является многочленом степени .

Многочлены Лежандра обладают следующими свойствами:

1. Многочлен ортогонален на отрезке любому многочлену степени меньше : для любого .

2. Все корни многочлена вещественные, различные и расположены на интервале .

3. Многочлены образуют ортогональную систему на : при и при .

4. Имеет место рекуррентная формула:

Формула (17) позволяет, используя равенства и , найти многочлен Лежандра любой степени.

Если известны корни многочлена Лежандра , то, используя (15), получаем квадратурную формулу Гаусса

где

Таблицы узлов и коэффициентов формулы (18) приведены в [3]. Отметим, что корни многочленов Лежандра и коэффициенты квадратурной формулы (18) обладают симметрией на относительно точки .

Пересчет узлов и коэффициентов квадратурной формулы на произвольный отрезок осуществляется с помощью замены переменной :

Таким образом, из (18) получаем квадратурную формулу Гаусса для произвольного отрезка

где корни многочлена Лежандра .

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-18; Просмотров: 3430; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.