Постановка задачи. Применение интерполяционного многочлена Лагранжа

II. Численное дифференцирование

Пусть на отрезке R определена достаточно гладкая функция и требуется вычислить в точке ее производную . Если функция задана таблично или имеет сложное аналитическое выражение, то непосредственное дифференцирование невозможно. Поэтому строят приближенные формулы численного дифференцирования.

Один из универсальных способов конструирования формул численного дифференцирования состоит в том, что по функции и узлам строят интерполяционный многочлен Лагранжа (6) и полагают

Разность

называется погрешностью формулы численного дифференцирования (33).

Для получения оценок погрешности формулы (33) для заданного существования производной недостаточно. Обычно требуется выполнение условия , .

Замечание 9. Для конструирования формул численного дифференцирования можно также использовать интерполяционные сплайны. В вычислительной практике для вычисления и обычно используют интерполяционный естественный кубический сплайн :

Приведем простейшие формулы численного дифференцирования.

1)

Если , то

2)

Если , то

3)

Если , то

Представления погрешности (34) формулы численного дифференцирования (33), выражаемые через производные функции , удается найти только в частных случаях. Общая оценка погрешности формулы (33) определяется следующей теоремой.

Теорема 4. Пусть , . Тогда существуют такие константы , зависящие только от и независящие от шага и функции , что

где - интерполяционный многочлен Лагранжа (6) и .

Замечание 10. Оценка (35) с постоянными сильно завышена и редко используется на практике. Однако оценка (35) полезна тем, что она устанавливает скорость убывания погрешности относительно шага на всем отрезке при фиксированных значениях параметров (). Шаг является основным параметром, которым распоряжается вычислитель.

Дата добавления: 2014-11-18