Дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений. Общее решение, частное решение дифференциального уравнения, Интегральные кривые

Предел функции.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Рассмотрим функцию f (x), определённую на некотором множестве X, которое имеет предельную точку x 0 (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне [править | править вики-текст]

Значение A называется пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0, если для любойпоследовательности точек { xn }∞ n =1, сходящейся к x 0, но не содержащей x 0 в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности x 0), последовательность значений функции { f (xn)}∞ n =1 сходится к A. ^[1]

Предел функции по Коши [править | править вики-текст]

Значение A называется пределом (предельным значением) функции f (x) в точке x 0, если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число δ = δ (ε) такое, что для всех аргументов x, удовлетворяющих условию 0<| x − x 0|< δ, выполняется неравенство | f (x)− A |< ε. ^[1]

lim x → x 0 f (x)= A ⇔∀ ε >0 ∃ δ = δ (ε)>0 ∀ x:0<| x − x 0|< δ ⇒| f (x)− A |< ε

Дифференциальные уравнения – это соотношение вида F(x₁,x₂,x₃,..,y,y′,y′′,...y⁽ⁿ⁾) = 0, связывающее независимые переменные x₁,x₂,x₃,... функцию y этих независимых переменных и ее производные до n-го порядка. При этом функция F определена и достаточное число раз дифференцируема в некоторой области изменения своих аргументов.

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это дифференциальные уравнения, в которых содержится только одна независимая переменная.

Дифференциальные уравнения в частных производных – это дифференциальные уравнения, в которых содержится две и более независимых переменных.
* Если ясно, какое уравнение рассматривается, то слова “обыкновенные“ или "в частных производных" могут опускаться. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей входящей в него производной.

Степень дифференциального уравнения – это показатель степени, в которую возведена производная наивысшего порядка.

ПРИМЕРЫ.

ПРИМЕР

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида

F(x,y,y′,y″,…,y(n))=0,

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

y=φ(x,C01,C02,…,C0n),

где C01,C02,…,C0n — конкретные числа, то функция вида

y=φ(x,C1,C2,…,Cn)

при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант) C1,C2,…,Cn называется общим решением дифференциального уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения на интервале (α;β) называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида

F(x,y,y′,y″,…,y(n))=0

обращает его в верное тождество на интервале (α;β).

Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Интегральной кривой называется график решения геометрически неопределённого интеграла (первообразной), представляющего собой семейство «параллельных» кривых y=F(x)+C, где каждому числу С соответствует определенная кривая семейства. График каждой кривой и называется интегральной кривой.

Дата добавления: 2014-11-08