Комплексные числа. Действия с комплексными числами. Графическое изображение комплексного числа

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянным коофициентом

Линейное дифференциальное уравнение

Однородное дифференциальное уравнение

Начальные условия. Дифференциальные условия. Однородные, линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянным коэффициентом.

В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия — дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой области соответственно.

Комплексные числа - числа вида x + iy, где x, y ∈R, а
i, такое число, что i 2=−1. Множество комплексных чисел
обозначается C.

Действия над комплексными числами:

Сложение комплексных чисел:

(x 1+ iy 1)+(x 2+ iy 2)=(x 1+ x 2)+ i (y 1+ y 2).

Умножение двух комплексных чисел:

(x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2)= x 1 x 2− y 1 y 2+(x 1 y 2+ x 2 y 1) i.

Умножение комплексного числа на действительное:

λ (x + iy)= λx + iλy.

Деление комплексных чисел:

x 1+ iy 1 x 2+ iy 2=(x 1+ iy 1)(x 2− iy 2)(x 2+ iy 2)(x 2− iy 2)= x 1 x 2+ y 1 y 2+ i (y 1 x 2− x 1 y 2) x 22+ y 22=

x 1 x 2+ y 1 y 2 x 22+ y 22+ y 1 x 2− x 1 y 2 x 22+ y 22 i.

Действительные числа x и y комплексного числа z = x + iy, называются действительной и мнимой частью числа z и обозначаются, соответственно, Rez = x и Imz = y.

Два комплексных числа z 1= x 1+ iy 1 и z 2= x 2+ iy 2 называются равными в том и только том случае, если x 1= x 2, y 1= y 2.

Запись z = x + iy называют алгебраической формой комплексного числа z.

Числа z 1= x + iy и z 2= x − iy называют сопряженными.

Примеры:

Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраической форме:

1. (2+3 i)(3− i).

Решение:

(2+3 i)(3− i)=6−2 i +9 i −3 i 2=6+7 i +3=9+7 i.

Ответ: 9+7 i.

2. (2 i − i 2)2+(1−3 i)3.

Дата добавления: 2014-11-08