Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение. а) Общий член ряда имеет вид (см





Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

а) Общий член ряда имеет вид (см. формулу (7.1.1)).

Поскольку , а ряд сходится, то по признаку сравнения исходный ряд также сходится.

б) Предложенный ряд – это знакочередующийся ряд (7.1.2), для которого

Исследуем ряд на абсолютную сходимость, используя предельный признак сравнения.

; ряд – расходится (гармоничный ряд), . Ряды и ведут себя одинаково. Следовательно, ряд расходится и абсолютной сходимости нет.

Условную сходимость проверим по признаку Лейбница:

т.е. члены ряда образуют убывающую последовательность. Поэтому по признаку Лейбница ряд условно сходится.

 

9. Определить область сходимости функционального ряда .

Решение. Данный ряд – степенной ряд. Радиус сходимости находим по формуле (7.2.1):

Таким образом, ряд сходится, если |x-4| < 2 или -2<x-4<2, 2<x<6.

Проверим сходимость в граничных точках интервала сходимости:

- ряд абсолютно сходится;

- ряд абсолютно сходится.

Ответ: функциональный ряд сходится при всех значениях xє[2;6].

 

10. Найти сумму ряда .

 

Решение. Обозначим сумму исходного ряда S(x). Прежде всего необходимо найти область сходимости исходного ряда. Предложенный ряд – это степенной ряд, радиус сходимости R=1 (см. решение примера 9). Поэтому |x|<1 (при х =±1 ряд расходится). Таким образом, сумма исходного ряда может быть найдена лишь при значениях хє(-1;1).

Преобразуем исходный ряд к виду

Последний ряд просуммирован сразу, т.к. является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом b1 = 1 и знаменателем прогрессии q(x)=x, |q(x)|<1.

Вычислим S2(x), предварительно проинтегрировав соответствующий ряд .

Отсюда .

Вычислим S1(x), предварительно дважды проинтегрировав ряд

Откуда

Таким образом,

 

11. Вычислить интеграл с точностью до ε=10-3.

Решение. Задача, аналогичная данной, рассмотрена в примере 7.2.4 (см.тему 7.2). Оценку остатка ряда (остаточный член) следует производить по формуле , т.к. в данном случае будет получен числовой ряд с положительными членами.



 

12. Функцию разложить в ряд Фурье по косинусам. Построить график суммы ряда.

Решение. В промежутке [-2,0) продолжим функцию f(x) четным образом. Ряд Фурье будет иметь вид

т.к. l = 2

Таким образом, .

График суммы ряда имеет вид (рис. Д.7.1).

 

13. Найти косинус-преобразование Фурье функции

Решение. Функцию f(x) продолжим на отрицательную полуось четным образом и косинус-преобразование Фурье будем искать для функции

По формуле (7.4.7) находим

 

14. Найти первые три отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения .

Решение дифференциального уравнения ищем в идее

Таким образом,

 

.

 

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой




Дата добавления: 2014-11-20; Просмотров: 497; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.021 сек.