Загальні рекомендації до розв’язання задач

Основи термодинаміки.

Розділ ІІ. Молекулярна фізика

Закони збереження в механіці.

Імпульс тіла та системи тіл. Імпульс сили. II закон Ньютона у вигляді імпульсів. Закон збереження імпульсу. Реактивний рух. Механічна робота. Консервативні сили. Робота сил тяжіння та пружності. Потужність. Енергія. Механічна енергія системи тіл. Зв’язок роботи з енергією.

Кінетична та потенціальна енергії. Закон збереження енергії в механічних системах.

1.4. Механічні коливання та хвилі.

Коливальний рух. Вільні коливання. Амплітуда. Період. Частота. Коливання вантажу на пружині.

Звукові хвилі. Довжина хвилі. Зв’язок довжини хвилі зі швидкістю її поширення, періодом і частотою. Гучність звуку. Висота тону.

2.1. Основи молекулярно-кінетичної теорії.

Основні положення молекулярно-кінетичної теорії та їх дослідні обґрунтування. Броунівський рух та дифузія. Маса і розміри молекул. Число Авогадро.

Взаємодія атомів і молекул речовини в різних агрегатних станах.

Ідеальний газ. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії.

Термодинамічна рівновага. Температура та її вимірювання. Температурні шкали. Абсолютний нуль.

Рівняння Меделєєва-Клапейрона як наслідок основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії. Ізопроцеси в газах.

Внутрішня енергія речовини. Теплопередача (теплообмін). Кількість теплоти. Питома теплоємність речовини. Робота газу. Способи зміни внутрішньої енергії.Перший закон термодинаміки. Застосування першого закону до ізопроцесів. Питомі теплоємності газів за сталого тиску і об’єму. Адіабатичний процес.

Плавлення та твердіння тіл. Температура плавлення (твердіння).

Питома теплота плавлення. Випаровування і конденсація. Кипіння. Температура кипіння. Питома теплота пароутворення. Рівняння теплового балансу для найпростіших теплових процесів.

Необоротність теплових процесів. Принцип дії теплових двигунів. ККД теплового двигуна.

1. Приступаючи до розв’язання задачі з будь-якої теми, спочатку вивчіть теоретичний матеріал за підручником, розберіться в прикладах розв’язання типових задач.

2. Уважно прочитайте умову задачі, вникаючи в її зміст. Чітко уявіть собі фізичне явище, процеси, які відображені умовою задачі.

3. Запишіть умову задачі й величини, що шукаються в задачі. Умови записуйте ретельно, нічого не пропускаючи; вкажіть і ті величини, числові значення яких не задаються, але про них згадується в умові задачі; випишіть усі величини в умову задачі для наочності стовпчиком.

4. Ретельно виконайте креслення, що пояснює зміст задачі (в тих випадках, коли це можливо). Є деякі задачі, що розв’язуються графічно, тоді правильно виконане креслення буде розв’язанням задачі.

5. Згадайте, якому закону підпорядкований фізичний процес і якими математичними формулами він описується. Якщо формул декілька, зіставте величини, що входять в різні формули, з величинами, заданими та тими, які необхідно знайти. Якщо при розв’язанні задачі застосовується формула, що безпосередньо не відображає якого-небудь фізичного закону і визначення фізичної величини, її слід вивести, виходячи з фізичної суті процесу, заданого в умові задачі.

6. На першому етапі розв’язуйте задачу в загальному вигляді, тобто виводьте формулу, в якій шукана величина виражена через величини, задані в умові. Винятки з цього правила вкрай рідкі і бувають в двох випадках: якщо формула якої-небудь проміжної величини настільки громіздка, що обчислення цієї величини значно спрощує подальший запис розв’язання; якщо числовий розв’язок задачі значно простіший, ніж виведення формули.

7. Перевірте, чи дає робоча формула правильну одиницю вимірювання шуканої величини. Для цього в робочу формулу слід підставити одиниці всіх величин у СІ, виконати з ними необхідні дії. Якщо одержана в результаті одиниця не збігається з одиницею шуканої величини, задача розв’язана неправильно. Якщо в обчислювальну формулу входять алгебраїчні суми, слід звернути увагу на те, щоб одиниці доданків співпадали.

8. Підставте в остаточну формулу, одержану в результаті розв’язання задачі в загальному вигляді, числові значення, виражені в одиницях СІ.

9. Виконуйте обчислення згідно з робочою формулою, керуючись правилами наближених обчислень. Запишіть у відповіді числове значення і скорочену назву шуканої величини в СІ.

10. Розв’язання кожної задачі повинне супроводжуватися коротким поясненням, яке розкриває логічну послідовність операцій при її розв’язанні.

11. Одержавши шукану величину, проаналізуйте її кількісно і переконайтесь, що вона реальна в умовах даної задачі.

1.1. Основні формули з розділу «Механіка»

Середня швидкість і середнє прискорення: ; ,

де D S - шлях, пройдений точкою за інтервал часу D t.

Шлях D S, на відміну від різниці координат, D x = x₂ – x₁ не може приймати негативні значення, тобто D S ³0.

Миттєва швидкість і миттєве прискорення при прямолінійному русі:

, ,

де Д – вектор переміщення.

Якщо прискорення однакове в усіх точках шляху і в будь-який момент часу, то рух буде рівнозмінним.

Кінематичне рівняння рівномірного руху матеріальної точки вздовж осі Х:

,

де x₀ – початкова координата.

При рівномірному русі .

Кінематичне рівняння рівнозмінного руху матеріальної точки уздовж осі X:

,

де х_о – початкова координата рухомої точки у момент часу t = 0;

_о – швидкість точки в даний момент часу;

а – прискорення.

Швидкість і шлях рівнозмінного поступального руху:

.

Швидкість і переміщення привільному падінні:

,

де g – прискорення вільного падіння.

Кутова швидкість і кутове прискорення при обертальному русі:

; .

Кінематичне рівняння рівнозмінного обертального руху:

Зв'язок між лінійними і кутовими величинами при обертальному русі:

, S – довжина дуги, пройдена точкою, j – кут обертання точки, R – радіус обертання точки;

; ; .

Імпульс (кількість руху) матеріальної точки масою m, що рухається зі швидкістю:

.

Основне рівняння динаміки поступального руху:

.

Сили, що розглядаються в механіці:

а) сила пружності:

,

де k – коефіцієнт пружності; x – абсолютна деформація.

Механічна напруга при пружній деформації тіла: ,

де F - сила, що розтягує або стискає тіло; S - площа поперечного перерізу тіла.

Відносне поздовжнє розтягування (стиснення): ,

де – зміна довжини тіла при розтягуванні (стисненні); - довжина тіла до деформації.

Закон Гука для поздовжнього розтягування (стиснення): ,

де - модуль Юнга.

б) сила тертя ковзання:

,

де µ – коефіцієнт тертя; N – сила нормальної реакції опори.

в) сила гравітаційної взаємодії (сила тяжіння):

,

де G – гравітаційна стала; m₁ і m₂ – маси взаємодіючих тіл; r – відстань між тілами (тіла розглядаються як матеріальні точки);

г) чисельне значення сили, що діє на тіло, яке рухається по дузі кола радіусом R:

.

Закон збереження імпульсу (кількості руху) для замкненої (ізольованої) системи:

,

або для двох тіл (i = 2):

,

де і – швидкості тіл до взаємодії;

і – швидкості тих же тіл після їх взаємодії.

Кінетична енергія тіла:

.

Потенціальна енергія:

а) пружно деформованого тіла:

,

де k – коефіцієнт пружності (жорсткість) тіла; x – абсолютна деформація;

б) тіла, піднятого над поверхнею Землі:

,

де g – прискорення вільного падіння; h – висота тіла над рівнем, прийнятим за нульовий (формула справедлива за умови h<<R_З, де R_З – радіус Землі).

Закон збереження повної механічної енергії (для замкненої системи, де діють консервативні сили):

W = W_к+W_П = const.

Робота А, здійснювана зовнішніми силами, визначається як міра зміни кінетичної енергії системи (тіла): A = DW = W₂ - W₁

Робота:

а) постійної сили F:

,

де a - кут між напрямами сили і переміщення ;

б) пружної сили:

.

Потужність: .

Момент сили відносно нерухомої осі обертання:

M = F d, де d=r∙sinα – плече сили F.

Кінематичне рівняння гармонійних коливань матеріальної точки:

,

де х – зсув точки, що коливається, від положення рівноваги;

А – амплітуда коливань;

w – кругова або циклічна частота;

j₀ – початкова фаза коливань;

t – час.

Періодом коливань називається проміжок часу між двома послідовими максимальними відхиленнями фізичної системи від положення рівноваги.

Зв’язок між періодом коливань та циклічною частотою ω:

,

де Т – період коливань точки; v – частота коливань.

Повна енергія точки, що коливається:

W = W_к+W_П = .

Період власних коливань:

а) математичного маятника

,

де l – довжина маятника; g – прискорення вільного падіння;

б) пружинного маятника

де m – маса тіла, що коливається; k – жорсткість пружини.

Довжина хвилі

,

де Т – період коливання;

– швидкість розповсюдження хвилі;

v – частота коливань.

Приклади розв`язування задач

ЗАДАЧА 1

Автомобіль першу половину шляху рухався зі швидкістю 72 км/год. Потім половину часу він рухався зі швидкістю 42 км/год, а іншу половину часу зі швидкістю 30 км/год. Визначити середню швидкість руху автомобіля.

Дано:	Розв'язок: Середня швидкість руху: . Загальний шлях , або . За умовою задачі: , або . Так як , то . Зі співвідношення визначимо .

З урахуванням цього:

t = t₁+ 2t₂ =

визначимо середню швидкість руху:

сер

скоротимо чисельник і знаменник на S₁ i будемо мати:

_сер =

Обчислимо: _сер= (км/год)

Вiдповiдь: _сер=48 км/год

ЗАДАЧА 2

З яким прискоренням зісковзує тiло з похилої площини з кутом нахилу , якщо з похилої площини з кутом нахилу воно рухається вниз рiвномiрно?

Дано: Розв'язок:

< α < β

а -?

На тiло дiють три сили: сила тяжiння сила нормальної реакції опори з боку похилої площини i сила тертя _тер. Якщо по похилiй площинi з кутом нахилу тiло рухається рiвномiрно, то прискорення а = 0 i вiдповiдно:

_тер =0 (1)

Виберемо дві взаємно перпендикулярні вісі координат OX та OY і запишемо рівняння (1) в проекціях на ці вісі:

Так як сила тертя F_тер = ,

де - коефіцієнт тертя ковзання, то: F_тер = mg cos .

Підставимо значення F_тер в рівняння (2):

mg sin - mg cos =0 (4)

з рівняння (4) випливає, що =tg (5)

Пам'ятаємо, що коефіцієнт тертя залежить від матеріалу стикових поверхонь тіл і тому буде однаковим в першому і другому випадках.

Якщо тіло рухається з прискоренням по похилій площині з кутом нахилу , то на підставі другого закону Ньютона:

_тер; (6)

в проекціях на вісі координат:

ma=mg sin - F_тер (7)

0=mg cos - N (8)

З рівняння (8) маємо: N=mg cos ,

з урахуванням цього: F_тер = mg cos .

Підставимо значення з (5):

F =tg mg cos . З (7) будемо мати: ma=mg sin - tg mg cos , або остаточно: a=g sin - gtg cos .

Відповідь: a=g (sin - tg cos ).

ЗАДАЧА 3

Радіус малої планети 250 км, середня густина . Визначити прискорення вільного падіння на поверхні цієї планети.

Дано: Розв'язок:

 

g_n -?

За законом всесвітнього тяжіння на тіло масою m на цій планеті діє сила ,

де G - гравітаційна стала,

G= ; m_n - маса планети;

R - радіус планети. Позначимо прискорення вільного падіння на цій планеті g_n. Тоді: , або . Масу планети можна визначити за формулою: , де - об'єм планети.

З урахуванням цього: .

Обчислимо:

Відповідь: g_n = 0,21 .

ЗАДАЧА 4

Снаряд масою m=5 кг, що вилетів з гармати, у верхній точці траєкторії має швидкість =300 м/с. У цій точці він розірвався на 2 осколки, причому більший осколок масою m₁=3 кг рухається в зворотному напрямку зі швидкістю ₁=100 м/с. Визначити швидкість ₂ другого, меншого осколка.

Дано: Розв'язок:

m=5 кг =300 м/с m₁=3 кг ₁=100 м/с

₂-?

Запишемо закон збереження імпульсу для непружного удару в умовах даної задачі: m =m_{1 1}+m_{2 2}

_В скалярному вигляді: m = –m_{1 1}+m_{2 2}. (1)

Масу другого осколка знайдемо за різницею мас снаряду та першого осколка: m₂=m –m₁. (2)

Підставимо (2) в (1): . Зробимо обчислення: (м/с).

Відповідь: ₂=60 м/с.

ЗАДАЧА 5

До нижнього кінця вертикального дроту завдовжки 5 м і площею поперечного перерізу 2 мм² підвішено вантаж 5,1 кг, внаслідок чого дріт видовжився на 0,6 мм. Визначити модуль Юнга для матеріалу дроту.

Дано: Розв'язок:

= 5 м S = 2 мм m = 5,1 кг = 0,6 мм = =	Визначимо механічну напругу: ; визначимо відносне видовження дроту: З формули виразимо модуль Юнга Е: ; Обчислимо: Відповідь:
Е -?

Задачі для самостійного розв’язування з розділу «Механіка»

1. Два тiла почали одночасно рухатися рiвноприскорено, одне з початковою швидкiстю 5 м/с, i прискоренням 0.5 м/с2, друге без початковоi швидкостi з прискоренням 1.5 м/с2.Побудувати графiк цих рухiв i за графiками визначити, через який час обидва тiла матимуть однакову швидкiсть.

Вiдповiдь:

2. Поїзд, досягнувши швидкостi 54 км/год, став рухатись рiвноносповiльнено з прискоренням - 0,4 м/c. Через який час швидкiсть його зменьшиться втричi i який шлях пройде за цей час?

Вiдповiдь:

3. Через який час м’яч буде на висотi 25м, якщо його кинути вертикально вгору з початковою швидкiстю 30 м/c?

Вiдповiдь:

4. Тiло, що падае з висоти h за останню секунду падіння проходить 1/4 частину всього шляху. Визначити висоту i час падiння.

Вiдповiдь:

5. Лiтак пiднiмається з аеродрому пiд кутом 30 градусiв до горизонту iз швидкiстю 216 км/год. Якоi висоти досягне лiтак за 10с пiдйому?

Вiдповiдь:

6. З якою мiнiмальною швидкiстю треба кинути пiд кутом 45° до горизонту камiнь, щоб вiн досяг висоти 2,5 м?

Вiдповiдь: v_0min= 10

7. Два тiла одночасно кинутi з однiєї точки. Початкова швидкiсть першого тiла дорiвнює 10 м/с i направлена вертикально вгору, другого - 20 м/с i направлена пiд кутом 30 градусiв до горизонту. Визначити вiддаль мiж тiлами через одну секунду.

Вiдповiдь: h= 17,3 м

8. Диск радіусом 20 см починає обертатися з кутовим прискоренням 3 с . Через який час точка, що лежить на його краю, буде мати прискорення 75 см/с?

Вiдповiдь: 0,5 с

9. На нитцi пiдвiшений тягарець, маса якого 1 кг. Нитку з тягарцем опускають вниз з прискоренням 5 м/с2. Знайти силу натягу нитки.

Вiдповiдь: T= 5 H

10. Автомобiль масою 3 т рухається рiвномiрно iз швидкiстю 40 км/ год. Знайти потужнiсть, яку розвиває двигун автомобiля, якщо коефiцiент тертя = 0,06.

Вiдповiдь: 20 кВт

11. З якою найбiльшою швидкiстю може рухатися автомобiль на поворотi радiуса 150 м, щоб його не “занесло”, якщо коефiцiент тертя ковзання шин об дорогу дорiвнює 0, 48?

Вiдповiдь: 26,6 м/с

12. Тіло ковзає рівномірно по похилій площині з кутом нахилу 40 . Визначити коефіцієнт тертя тіла об площину.

Вiдповiдь: м=0,84

13. Вантаж масою 50 кг перемiщується по горизонтальнiй площинi пiд дiєю сили 300 Н, направленоi пiд кутом 30° до горизонту. Коефiцiент тертя вантажа об площину =0,1. Визначити прискорення руху вантажа.

Вiдповiдь: 4,5 м/с2

14. Брусок масою 2 кг ковзає по горизонтальній поверхні під дією вантажу масою 0,5 кг, прикріпленого до кінця нерозтяжної нитки, перекинутої через нерухомий блок. Коєфіцієнт тертя бруска об поверхню 0,1. Знайти прискорення руху тіла і силу натягу нитки. Масами блока і нитки, а також тертям у блоці знехтувати.

Вiдповiдь: а=1,2 м/с ; F=4,3 H

15. З похилої площини, що становить кут з горизонтом, без тертя ковзає тiло. Початкова швидкiсть тiла дорiвнюе нулю. За який час вiд початку руху тiло досягне основи похилоi площини, якщо в початковий момент тiло знаходилося на висотi h вiд основи?

Вiдповiдь:

16. Дерев’яний брусок знаходиться на похилiй площинi. З якою найменшою силою треба притиснути брусок до похилоi площини, щоб вiн залишився на нiй у спокоi? Маса бруска 0,2 кг, довжина похилої площини 1 м, а висота 0,5 м; коефiцiєнт тертя бруска об похилу площину = 0,4

Вiдповiдь: F= 0,8 Н.

17. Через невагомий блок, закрiплений на ребрi призми, гранi якої утворюють кути a i b з горизонтом, перекинута нитка. До кiнцiв нитки прикрiпленi тягарцi масами m₁i m₂. Знайти прискорення тягарцiв i натяг нитки.

Вiдповiдь::

18. Чому дорівнює робота по підйому стрижня, взятого за один кінець, на висоту, рівну його довжині, якщо стрижень лежить на площині і має довжину 2 м і масу 5 кг.

Вiдповiдь: A= 50 Дж

19. Однорідна драбина масою 6 кг і довжиною 3м преставлена до стіни і утворює з нею кут 300. Визначити момент сили тяжiння, що діє на драбину, відносно осі, яка проходить через нижнiй її кінець паралельно східцям.

Вiдповiдь:

20. До обода колеса, яке має форму диску, радіуса 0,5м та маси 50 кг прикладена дотична сила 100 Н. Знайти кутове прискорення колеса та через скільки часу після початку дії сили колесо буде мати швидкість, яка відповідає 100 об/с?

Вiдповiдь: 7,36 кг

21. Яку роботу треба здійснити, щоб автомобіль масою 1 т збільшив швидкість від 33 до 72 км/год?

Вiдповiдь:

22. Максимальна висота підйому тіла масою m = 2 кг, кинутого з поверхні землі з початковою швидкістю ₀= 10 м/с, складає h = 3 м. Знайти кінетичну енергію тіла в момент досягнення максимальної висоти.

Вiдповiдь:

23. Яка робота здійснена при стисканні буферної пружини залізнодорожного вагона на 5 см, якщо для стискання пружини на 1 см необхідна сила 30 кН?

Вiдповiдь:

25. Молот масою 1 т падає з висоти 2 м на наковальню. Тривалість удару 0,01 с. Визначити середнє значення сили удару.

Вiдповiдь: 626 кН.

26. Із гармати масою 5 т, жорстко закріпленої на залізничній платформі

масою 15 т, зроблено постріл уздовж залізничної колії снарядом масою 100 кг, швидкість якого 500 м/с і напрямлена під кутом 30 до горизонту. Визначити швидкість руху платформи, якщо вона стояла нерухомо.

Вiдповiдь: 0,925 м/с.

27. Снаряд масою m, що летить зі швидкістю 500 м/с, розірвався на 2 осколки, причому більший осколок масою 0,6 m продовжує рух у тому ж напрямі з швидкістю 1000 м/с. Визначити швидкість меншого осколка.

Вiдповiдь: - 250 м/с.

28. Тіло масою 5 кг рухається з швидкістю 5 м/с і наздоганяє тіло масою 15 кг, що рухається з швидкістю 3 м/с. Вважаючи удар прямим центральним абсолютно пружним, визначити швидкість тіл після удару.

Вiдповiдь: 2 і 4 м/с

29. Записати рівняння гармонічного коливального руху, якщо максимальне прискорення точки 49,3 см/с , період коливань 2 с і зміщення точки від положення рівноваги в початковий момент часу 25 мм.

Вiдповiдь: х = 5×10 sin(pt+p/6)

30. Точка виконує гармонічні коливання. Максимальна швидкість точки дорівнює 10 см/с, максимальне прискорення 100 см/с . Знайти період і амплітуду коливань. Записати рівняння коливань, вважаючи початкову фазу, рівною нулю.

Вiдповiдь: 0,628 с; 0,01 м

1.2. Основні формули з розділу «Молекулярна фізика та термодинаміка»

Кількість речовини:

; ,

де N=N_A – число структурних елементів (молекул, атомів, іонів тощо) системи; N_A – стала Авогадро.

Рівняння стану ідеального газу (рівняння Клапейрона-Менделєєва)

,

де m – маса газу; м – молярна маса газу; R – універсальна газова стала;

T – термодинамічна температура; р – тиск.

Основні газові закони, що є окремими випадками рівняння Клапейрона-Менделєєва:

а) закон Бойля-Маріотта (ізотермічний процес: T=const, m=const), PV=const

або для двох станів газу P₁V₁=P₂V₂;

б) закон Гей-Люссака (ізобарний процес: P=const; m=const) =const,

або для двох станів ;

в) закон Шарля (ізохорний процес: V=const, m=const) =const,

або для двох станів .

Концентрація молекул

,

де N – число молекул, що містяться в даному об'ємі.

Формула справедлива не тільки для газів, але і для будь-якого агрегатного стану речовини.

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеальних газів:

р = ; ; p=nkT,

де n – концентрація молекул; k– стала Больцмана (); m₀ – маса однієї молекули;

< _кв> – середня квадратична швидкість молекули; < W_к> – середня кінетична енергія поступального руху молекули газу.

Перший закон термодинаміки:

Q = DU + A,

де Q – кількість теплоти, що одержує, або віддає система;

D U – зміна внутрішньої енергії системи; A – робота, здійснена системою проти зовнішніх сил.

Застосуваня першого закону термодинаміки до ізопроцесів:

а) ізобарний: Q = DU + A, де А=рDV;

б) ізохорний: Q = DU;

в) ізотермічний: Q = A;

г)адіабатний: A = -DU.

Зміна внутрішньої енергії ідеального газу:

.

Кількість теплоти (Q) — міра внутрішньої енергії, переданої в процесі теплообміну від одного макроскопіч­ного тіла до іншого без виконання роботи.

Рівняння теплового балансу описує теплообмін у замкненій системі: ,

де - сумарна кількість теплоти, одержана тілом при теплообміні;

- сумарна кількість теплоти, віддана тілом при теплообміні.

Кількість теплоти, яка необхідна для нагрівання тіла і яка виділяється при охолодженні тіла, розраховується за формулою:

,

де с – питома теплоємність речовини; m – маса тіла; ∆T – зміна температури тіла.

Питома теплоємність (с) – фізична величина, яка показує, яку кількість теплоти отримує або віддає 1 кг речовини при зміні її температури на 1 К (або 1 ^оС).

Кількість теплоти, яка поглинається під час плавлення, або виділяється під час кристалізації твердого тіла, визначається за формулою: ,

де L – питома теплота плавлення

Кількість теплоти, необхідна для випаровування або виділяється при конденсації, визначається за формулою:

,

де r – питома теплота пароутворення.

Кількість теплоти, яка виділяється під час згорання палива, визначається за формулою:

,

де q – питома теплота згорання палива.

Термічний ККД для кругового процесу (циклу)

,

де Q₁ – кількість теплоти, отримана системою від нагрівача;

Q₂ – кількість теплоти, віддана системою холодильнику;

A – робота, що здійснюється за цикл.

Термічний ККД циклу Карно

,

де T₁ – температура нагрівача;

T₂ – температура холодильника.

Дата добавления: 2014-11-20