Понятие устойчивости 6 страница

Сұрақ	Жауап	Сұрақ	Жауап
	AFG		BE
	CD		ABD
	D		DF
	C		B
	AE		C
	BDE		ACG
	E		C
	A		BE
	E		E
	B		D
	BF		AF
	B		D
	DFG

Сұрақ	Жауап	Сұрақ	Жауап
	ACF		CE
	AF		E
	D		BD
	BDE		D
	AF		D
	BCE		C
	C		AF
	B		DEF
	B		E
	A		A
	AE		D
	C		D
	A

Сұрақ	Жауап	Сұрақ	Жауап
	C		D
	CF		D
	BFD		D
	CF		A
	AF		B
	C		A
	B		E
	A		D
	C		E
	B		E
	D		AG
	B		EG
	E

Сұрақ	Жауап	Сұрақ	Жауап
	DFH		AE
	EFG		BE
	H		AG
	ACF		AE
	EF		B
	CF		B
	CF		DF
	C		AF
	BF		D
	A		A
	A		DF
	C		BF
	BE

На любую автоматическую систему всегда действуют различные внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Правильно спро­ектированная система должна устойчи­во работать при всех внешних возму­щениях.

В простейшем случае понятие устой­чивости системы связано со способно­стью ее возвращаться (с определенной точностью) в состояние равновесия по­сле исчезновения внешних сил, кото­рые вывели ее из этого состояния. Если система неустойчива, то она не возвра­щается в состояние равновесия, из кото­рого ее вывели, а либо удаляется от него, либо совершает вокруг него недо­пустимо большие колебания.

Наблюдения показывают, что некото­рые положения равновесия системы ус­тойчивы к небольшим возмущениям, а другие принципиально возможные рав­новесные положения практически не мо­гут быть реализованы.

Наглядно устойчивость равновесия представлена на рис. 3.1, где изображен шар, расположенный в некотором уг­лублении (рис. 3.1 а),на некоторой выпуклой поверхности (рис. 3.1 б),на плоскости (рис. 3.1 в).

Положение равновесия шара харак­теризуется точкой А₀.В случае, изобра­женном на рис. 3.1 а, при всяком отклонении шара от положения равновесия, например в точку А_, он будет стремиться снова возвратиться к положению равно­весия — в точку А₀(при отсутствии сил трения) или к некоторой конечной области, окружающей положение равно­весия, например в точку А₂ (при наличии сил трения). Та­кое положение равновесия устойчиво. Случай, изображен­ный нарис. 3.1б,соответствует неустойчивому положению равновесия. Рис. 3.1 всоответствует безразличному равно­весию. На рис. 3.1 г состояние равновесия устойчиво лишь до тех пор, пока отклонение не вышло за некоторую границу определяемую, например, точкой В. Выйдя за эту гра­ницу, шар уже не вернется в точку А₀,а будет двигаться вправо от точки Влибо все время удаляясь, либо до нового со­стояния равновесия в зависимости от формы поверхности, т. е. в конечном счете в зависимости от уравнений движения шара. Поэтому в общем случае, рассматривая нелинейные систе­мы, вводят понятие устойчивости «в малом», «в большом»,«в целом».Система устойчива «в малом», если констатируют лишь факт нали­чия области устойчивости, но не опре­деляют каким-либо образом ее грани­цы. Систему называют устойчивой «в большом», когда определены гра­ницы области устойчивости, т. е. оп­ределены границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в исходное состояние, и выяснено, что реальные начальные отклонения принадлежат этой обла­сти. В том случае, когда система воз­вращается в исходное состояние при любых начальных отклонениях, си­стему называют устойчивой «в целом». Устойчивость «в целом» для опреде­ленного класса нелинейностей назы­вают «абсолютной» устойчивостью. Так, например, случай, изобра­женный на рис. 3.1 а,соответствует устойчивости «в целом», а случай, изображенный на рис. 3.1 г, может соответствовать либо устойчивости «в большом», либо устойчивости «в ма­лом». Очевидно, что система, устойчивая «в целом», будет устойчива «в большом» и «в малом»; систе­ма, устойчивая «в большом», будет устойчива и «в малом».

На рис. 3.1 дизображено еще одно принципиально возмож­ное для нелинейных систем состояние равновесия, которое на­зывают полу устойчивым.

Для того чтобы дать определение устойчивости равновесия, вводят понятие о невозмущенном состоянии равновесия, соот­ветствующем состоянию покоя в точке А₀на рис. 3.1 а,и возмущенном состоянии, соответствующем, например, точке А₁,в которую внешняя сила привела шар и затем прекратила свое действие. Система будет устойчивой, если из возмущенного состояния она перейдет в некоторую заданную область, окру­жающую невозмущенное состояние равновесия.

Рис. 3.1. Возможные рав­новесные положения систем.

В рассмотренном выше примере с шаром вопрос об устой­чивости решается довольно просто. Однако следует заметить, что в общем случае далеко не всегда ясно, при каких усло­виях равновесное положение системы будет устойчивым.

Понятие устойчивости можно распространить и на более об­щий случай, когда в качестве невозмущенного состояния рас­сматривают не положение равновесия системы, а ее движение, например движения системы по некоторой наперед заданной траектории.

Допустим, что заданное движение системы при отсутствии возмущений должно определяться некоторым законом измене­ния независимых координат . По анало­гии со случаем равновесия положения, заданное движение называют невозмущенным движением. Внешние возмущения, действующие на систему, вызовут отклонение действительного движения системы от заданного. Действительное движение си­стемы называют возмущенным движением. Пусть действитель­ное движение системы определяется независимыми координа­тами .

В общем случае

. (3.1)

Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, ес­ли после приложения внешних сил (возмущений), которые за­тем снимают, возмущенное движение по истечении некоторо­го времени войдет в заданную область , где ε_i = const — заданные величины, i = 1,2,..., n.

Чтобы проиллюстрировать сказанное, предположим, что невозмущенное движение происходит по траектории А,а воз­мущенное движение происходит по траектории Б(рис. 3.2, а). Возьмем на этих траекториях две произвольные точки N^Aи N^Б,отвечающие одному и тому же моменту времени t. При устойчивом движении траектория Бдолжна быть близка к траектории А.

Следует заметить, однако, что близость траекторий Аи Бявляется необходимым условием устойчивости движения, но недостаточным. Действительно, расстояние между точками N^Aи N^Б,отвечающими одному и тому же моменту времени, может возрастать не только для расходящихся, но и для близ­ких траекторий (рис. 3.2, б).

Рис.3.2. Траектории движения.

Дата добавления: 2014-11-20