Теорема А.М. Ляпунова об устойчивости движения по первому приближению

Когда известно общее решение дифференциальных уравне­ний движения (1), можно непосредственно определить зна­чения переменных в возмущенном движении, составить вариации и, исследуя их, решить вопрос об устойчивости невозмущенного движения . Однако, как правило, исследование устойчивости движения производят не путем анализа общего решения, а методами, основанными на качественном анализе дифференциальных уравнений воз­мущенного движения, которым удовлетворяют отклонения (вариации) .

Чтобы вывести уравнения возмущенного движения, найдем из (3.9) переменные и подставим эти значения в дифференциальные уравнения движения (3.2).

Тогда

(3.16)

Если правые части уравнений (3.16) допускают разложение в степенные ряды Тейлора, то после этого разложения по степе­ням получим

(3.17)

где — совокупность членов, зависящих от отклонений в степени выше первой. Учитывая (4), будем иметь

. (3.18)

В уравнениях (3.18) коэффициенты

(3.19)

в общем случае являются функциями времени t;в частности, они могут быть постоянными. В дальнейшем, если не будет оговорено особо, будем считать коэффициенты a_i,nпостоянными. Уравнения (3.18) называют дифференциальными уравне­ниями возмущенного движения.

Если отклонения достаточно малы, то, пренебрегая ,получим линеаризованные уравнения

, i = 1,2,…n, (3.20) называемые уравнениями первого приближения.

Во многих случаях устойчивость движения исследуют по уравнениям первого приближения. Это объясняется не только простотой этого метода, но также и тем, что знания процессов, происходящих в реальных системах, позволяют надежно оп­ределять только первые линейные члены. Однако на основа­нии уравнений первого приближения можно дать иногда не­верное заключение об устойчивости движения. Поэтому, ес­тественно, возникает вопрос об определении условий, при вы­полнении которых по уравнениям первого приближения можно дать правильные ответы об устойчивости движения. Эту ис­ключительно важную и принципиальную для теории автомати­ческого управления задачу впервые поставил и решил А. М. Ляпунов.

Системе уравнений (3.20) соответствует характеристичес­кое уравнение, которое можно записать следующим образом:

a₁₁- s a₁₂ …. a_1n

a₂₁ a₂₂ – s … a_2n

D(s) = …………………….. = 0 (3.21)

a_n1 a_n2 ……. a_nn - s

Из (3.21) можно найти его корни _, где i = 1, 2,..., n, ко­торые в общем случае имеют вид, где и — вещественные и мнимые части корней соответственно.

Для исследования устойчивости систем по их линеаризо­ванным уравнениям принципиально важны следующие тео­ремы А. М. Ляпунова, которые приведем без доказательства.

Теорема 1. Если вещественные части всех корней харак­теристического уравнения (3.21) первого приближения отри­цательны, то невозмущенное движение асимптотически устой­чиво.

Теорема 2. Если среди корней характеристического урав­нения (3.21) первого приближения имеется хотя бы один ко­рень с положительной вещественной частью, то невозмущен­ное движение неустойчиво.

Если среди корней характеристического уравнения имеет­ся один или несколько нулевых корней, а вещественные час­ти остальных корней отрицательны, то этот случай называют критическим. Как показал Ляпунов, в критическом случае устойчивость (неустойчивость) невозмущенного движения не может быть оценена по уравнениям первого приближения, так как она зависит от вида нелинейной функции ,и поэтому в этом случае требуется рассмотрение дифферен­циальных уравнений возмущенного движения (3.18) в их ис­ходном виде.

Теоремы Ляпунова имеют весьма важное значение, так как они позволяют судить об устойчивости нелинейных систем по их линеаризованным уравнениям (уравнениям первого при­ближения).

Дата добавления: 2014-11-20