Прямі (1) взаємно перпендикулярні, якщо

.

Кут між прямими визначається кутом q між їх напрямними векторами:

3.5.11. Відстань між двома прямими

Щоб знайти відстань d між прямими, розглянемо вектор

g = s ₁ ´ s ₂,

перпендикулярний до обох прямих. Узявши точки М ₁(х ₁, у ₁, z ₁) і М ₂(х ₂, у ₂, z ₂), знайдемо відстань

Цю формулу можна подати через координати точок і проекцій напрямних векторів:

Остаточно маємо:

(2)

Дві прямі лежать в одній площині тоді і тільки тоді, коли виконується рівність

(3)

Обчислимо відстань між прямими

.

· Знаходимо вектор

а також вектор . Далі маємо

·

Другий спосіб полягає у знаходженні мінімуму квадрата відстані між двома довільними точками на різних прямих:

. (4)

Диференціюючи за t і t та прирівнюючи похідні до нуля, дістаємо систему рівнянь для t, t:

Із цієї системи рівнянь знаходимо t і t та обчислюємо значення d (t, t).

Знайдемо відстань між прямими

· Функція (4) має вигляд

Необхідну умову екстремуму (4) подамо у вигляді системи рівнянь:

Звідси

Остаточно маємо: d = d (1, – 1) = 0. Отже, прямі перетинаються.

Дата добавления: 2014-11-20