Відстань між двома точками 1 страница

Координати точок

1. Визначити координати вершин прямокутника, сторони якого паралельні осям координат, якщо координати кінців його діагоналі (– 4, 3) і (3, – 2).

2. Визначити координати вершин правильного трикутника зі стороною завдовжки 6, якщо центр його збігається з початком координат, а одна зі сторін паралельна осі абсцис.

3. Менша діагональ ромба дорівнює його стороні а. Визначити координати вершини ромба, узявши більшу його діагональ за вісь абсцис, а меншу — за вісь ординат.

4. Визначити координати вершин правильного трикутника, сторона якого дорівнює 12, якщо центр його збігається з початком координат, а одна зі сторін паралельна осі ординат.

5. Дано правильний шестикутник, сторона якого а. Визначити координати вершин цього шестикутника, якщо початок координат збігається з його центром, вісь ординат — з однією з діагоналей, а вісь абсцис перпендикулярна до двох протилежних сторін.

6. З початку координат як із центра накреслено коло радіусом r. Визначити координати кінця радіуса, нахиленого до осі абсцис під кутом 60°.

7. З початку координат як із центра накреслено коло радіусом r. Визначити координати кінця радіуса, нахиленого до осі абсцис під кутом 30°.

8. Знайти відстань між двома точками: 1) (5, 7) і (2, 3); 2)
(– 10, 8) і (2, 3); 3) (0, –3) і (– 4, 0); 4) (4, –5) і (–2, 3); 5) (– 10, 10) і (– 2, –5); 6) (m, nsina) i (mcosa, n).

9. Знайти відстань між початком прямокутної системи координат і точкою: 1) (–3, 4); 2) (2½, 6); 3) (а + b, a – b).

10. Знайти довжини сторін трикутника, координати вершин якого: 1) (4, – 5), (– 1, 7), (– 2, 3); 2) (2, –3), (8, 5), (– 7, – 3);
3) (0, 0), (15, 8), (5, –7); 4) (3, 0), (3, 11), (– 9, 16).

11. Сторони прямокутника, які дорівнюють 8 і 15, є осями координат. Знайти довжину його діагоналі.

12. Визначити довжини сторін чотирикутника, якщо координати його вершин такі: (1½, 2), (2, 2), (– 3, –10), (– 4½, – 6).

13. Знайти довжини діагоналей чотирикутника, коли відомі координати його вершин: (3, 5), (6, 9), (11, – 1), (– 3, – 3).

14.Знайти у, якщо відстань точки (10, у) від точки (2, – 7) дорівнює 17.

15. Координати кінців основи рівнобедреного трикутника (0, 8) і (4, 5). Визначити довжини сторін трикутника, якщо абсциса вершини дорівнює нулю.

16. Точка, ордината якої – 2, однаково віддалена від точок (15, 3) і (8, 10). Визначити абсцису цієї точки.

17. Знайти координати точки, однаково віддаленої від точок
(– 4, 12), (8, – 4), (– 6, –2).

Поділ відстані між двома точками пополам

18. Знайти координати середини відрізка прямої, що сполучає точки: 1) (8, 3) і (4, – 5); 2) (– 5, 2) і (– 2, –4); 3) (1½,0) і (– 2½, 5).

19. Відстань між точками (3, 0) і (5, – 4) поділено на 4 рівні частини. Визначити координати точок поділу.

20. Вершинами трикутника є точки з координатами: (4, – 3),
(– 3, –5), (0, 4). Знайти координати середин сторін трикутника.

21. Відстань між точками (х, 4) і (– 6, у) поділяється в точці
(– 1, 1) пополам. Знайти ці точки.

22. Відстань між точками (– 5, 2) і (х, у) поділяється в точці
( – 1½, – 1) пополам. Знайти координати х та у другої точки.

23. Вершинами трикутника є точки з координатами: (7, 4),
(– 4, 6), (2, – 5). Знайти координати середин його медіан.

24. Координатами двох сусідніх вершин паралелограма є точки: (2, – 3) і (– 3, 4), а діагоналі його перетинаються в початку координат. Знайти координати двох інших вершин паралелограма.

Перетворення координат

25. Початок координат перенесено в точку (–2, 3) без зміни напряму осей. Знайти нові координати точки (4, –5).

26. Якими будуть координати точки (– 3, – 1), якщо початок координати перенести в точку (3, – 2), не змінюючи напрямів осей?

27.Рівняння деякої кривої у прямокутній системі координат подається так: . Якого вигляду набере це рівняння, якщо без повороту осей перенести початок координат у точку (2, 3)?

28. Дано дві прямокутні системи координат, відповідні осі яких паралельні одна одній, і координати (2, 5), (– 1, 0), (– 2, – 4) трьох точок у першій системі. Знайти координати двох перших із цих точок у другій системі, знаючи, що (1, 1) — координати третьої.

Нехай полюс О полярної системи збігається з початком прямокутної системи, а полярна вісь збігається з додатно напрямленою віссю абсцис. За цих умов розв’язати задачі 29—31.

29. Знайти прямокутні координати точок, полярні координати яких r і j відомі: 1) r = 3, j = p/3; 2) r = 5, j = p/4; 3) r = 4,
j = p/2; 4) r = 2, j = p; 5) r = 2, j = ½p; 6) r = 4, j = p.

30. Рівняння, записані в полярній системі координат, подати у прямокутних координатах: 1) r = 3cos t; 2) r²sin2 t = a²;
3) r² = a²cos2 t; 4) r = a(1 + cos t); 5) r²cos2 t = a².

31. Рівняння, записані у прямокутній системі координат, подати в полярних координатах: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Мішані задачі на площині

32. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку (– 2, 1) і нахилена під кутом 30° до прямої х – 2у = 3.

33. Скласти рівняння прямої, що утворює кут 45° із прямою
3х + у – 2 = 0 та проходить через точку перетину цієї прямої з віссю ординат.

34. На прямій 3х – 3у – 7 = 0 знайти точку, рівновіддалену від точок (3, – 4) і (7, 2).

35. На прямій 2у – 3х = 5 узято відрізок, кінці якого мають абсциси –1 і 5, а на прямій 3у + 4х =2 — відрізок, кінці якого мають ординати – 2 і 6. На кожному із цих відрізків побудовано по рівнобедреному трикутнику, що мають спільну вершину. Знайти координати цієї вершини.

36. Знайти рівняння прямої, що сполучає основи перпендикулярів, опущених із початку координат на прямі і .

37. Дано прямі і . Записати рівняння перпендикулярів до кожної із цих прямих у точці їх перетину.

38. Дві непаралельні сторони паралелограма подаються рівняннями і , а його діагоналі перетинаються в точці (5, 5). Знайти рівняння двох інших його сторін.

39. Визначити координати точки, віддаленої від прямої на відстані, що дорівнює 5, і рівновіддаленої від точок (3, – 2) і (– 5, 4).

40. Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку (12, 4), коли відомо, що різниця відстаней цієї прямої від точок (8, – 9) і (– 7, 7) дорівнює 9.

41. Сторони трикутника подаються рівняннями , і . На першій стороні знайти координати точки, рівновіддаленої від двох інших сторін.

42. Вершинами трикутника є точки А (1, 2), В (– 1, 1) і
С(–2, 3). Знайти рівняння перпендикуляра, поставленого із середини сторони АС, і точку перетину його з прямою, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.

43. Знайти рівняння бісектриси кута, утвореного прямими і .

44. Діагоналі ромба дорівнюють 8 і 15. Приймаючи їх за осі координат, знайти відстань між протилежними сторонами.

45. Висота рівнобедреного трикутника дорівнює 12, а основа 10. Узявши ці дві прямі за осі координат, знайти рівняння і довжини перпендикулярів, опущених на бічні сторони із протилежних вершин.

46. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 і 8. Узявши їх за осі координат, знайти довжини перпендикулярів, опущених із вершин на медіани, проведені до цих катетів.

47. Висоти трикутника, рівняння двох сторін якого і , перетинаються в початку координат. Знайти рівняння третьої його сторони.

48. На прямій знайти точку, що задовольняє таку умову: прямі, проведені через неї з точок (2, 3) і (7, 5), утворюють із даною прямою рівні кути.

49. Через точку М(2, 1) провести пряму так, щоб перпендикуляри, опущені на неї з точок А(5, 2) і В(7, 5), були рівні між собою.

50. Із точки, узятої на прямій , проведено дві взаємно перпендикулярні прямі. Знайти рівняння цих прямих, якщо одна з них проходить через точку (– 3, – 3), а друга — через точку (4, 6).

51. Координати кінців однієї зі сторін квадрата: (–3, –3) і
(5, 3). Знайти рівняння його сторін.

52. Координати кінців однієї діагоналі квадрата: (– 1, 3) і
(3, 1). Знайти рівняння його діагоналей і сторін.

53. Сторона квадрата, одна з вершин якого міститься в початку координат, дорівнює а й утворює кут j із віссю абсцис. Записати рівняння сторін і діагоналей цього квадрата.

54. Дві паралельні сторони ромба подаються рівняннями і , а одна з діагоналей — рівнянням . Скласти рівняння двох інших сторін.

55. Дві протилежні вершини ромба містяться в точках А(3, 4) і С(1, – 2). Сторона АВ нахилена до осі абсцис під кутом 45°. Знайти рівняння всіх сторін ромба.

56. Точки перетину прямої з осями координат і центр кола є вершинами трикутника. Знайти координати точки перетину двох його медіан і показати, що й третя медіана проходить через цю саму точку.

57. Скласти рівняння дотичної до еліпса , яка відтинає на координатних осях рівні відрізки.

58. Дано еліпс . Знайти рівняння дотичної до нього, паралельної прямій .

59. Знайти рівняння еліпса, осі якого паралельні осям координат, коли відомі рівняння дотичних до нього прямих: і .

60. З точки (10, 9) проведено дотичні до конічного перерізу . Знайти: 1) рівняння хорди, що сполучає точки дотику; 2) рівняння зазначених дотичних; 3) площу трикутника, який визначається цими прямими.

61. Дано координати вершин трикутника А (1, 2), В (– 1, 1) і С (– 2, 3). Знайти рівняння перпендикуляра, поставленого із середини сторони АС, і точку перетину його з прямою, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.

62. Знайти площу чотирикутника, вершинами якого є центри двох кіл і , а також точки їх перетину.

63. До еліпса і кола проведено спільну дотичну в першому квадранті. Під яким кутом цю дотичну видно з початку координат? Виконати обчислення при ; .

64. З точки М (5, 3) до еліпса проведено дві дотичні. Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з точки М на пряму, яка сполучає точки дотику.

65. До лінії проведено нормаль, що перпендикулярна до прямої . Знайти відстань від центра кривої до цієї нормалі.

66. До лінії проведено дотичну паралельно прямій . Знайти кут, утворений цією дотичною з діаметром, проведеним через точку дотику.

67. Скласти рівняння дотичної до еліпса , якщо діаметр, який проходить через точку дотику, паралельний прямій .

68. З точки (1, 2) проведено дотичні до еліпса . Знайти відстань від даної точки до прямої, що сполучає точки дотику, і обчислити площу трикутника, вершинами якого є дана точка і точки дотику.

69. Через точки перетину кіл і провести нове коло так, щоб центр його лежав на прямій .

70. Через фокус F параболи проведено пряму з кутовим коефіцієнтом , яка перетинає директрису параболи в точці N. Знайти кут між дотичними, проведеними до параболи через точку N, і показати, що хорда, яка сполучає точки дотику, проходить через фокус і перпендикулярна до прямої FN.

71. Фокуси еліпса містяться в точках перетину кіл і , а ексцентриситет дорівнює 0,6. Знайти відстань від кожної з точок перетину директрис із великою віссю еліпса до дотичної, кутовий коефіцієнт якої дорівнює ексцентриситету.

72. Вершина прямого кута трикутника лежить на прямій , а дві інші вершини містяться в точках (2, – 3) і
(4, 1). Обчислити площу трикутника.

73. Відрізок прямої є спільною хордою кола та іншого кола, центр якого лежить на осі абсцис. Знайти рівняння другого кола.

74. До кола, яке проходить через точки А(5, 7), В(2, – 2) і
С(– 1, 7), із точки D(7, 18) проведено дві дотичні. Визначити площу трикутника, утвореного цими дотичними та прямою, що сполучає точки дотику.

75. У точках перетину еліпса з прямою до нього проведено дві дотичні. Знайти відстань між точками перетину цих дотичних із віссю абсцис, а також відстані правого фокуса еліпса до цих дотичних.

76. Дано канонічний переріз . Знайти рівняння дотичних до цієї кривої, проведених із точки (5, 12), а також рівняння хорди, що сполучає точки дотику.

77. Через фокус параболи проведено пряму під кутом 60° до осі абсцис. У точках перетину цієї прямої з параболою до останньої проведено дотичні. Знайти відстань від точки перетину дотичних до зазначеної прямої і обчислити кут між дотичними.

78. Через дві точки А (1, 3) і В (2, 2) проведено коло із центром на прямій . Знайти відстань від центра цього кола до хорди АВ.

79. З точки перетину прямих і проведено дотичні до еліпса . Знайти рівняння дотичних і довжину відрізка прямої, що сполучає точки дотику.

80. До параболи проведено дотичні з точки, що лежить на її директрисі і має ординату, яка дорівнює 5. Визначити кут, утворений цими дотичними, і показати, що пряма, яка сполучає точки дотику, проходить через фокус параболи.

81. До еліпса проведено дотичні, кутовий коефіцієнт яких дорівнює ексцентриситету еліпса. Знайти відстань між дотичними.

82. Дано коло . Скласти рівняння його дотичної, проведеної паралельно прямій . Знайти точки перетину даного кола з осями координат (виконати відповідний рисунок).

83. З точки (– 4, 6) проведено дотичні до параболи . Визначити відстань від цієї точки до хорди, яка проходить через точки дотику.

84. У точках перетину А та В кола з прямою проведено дотичні. Визначити точку перетину дотичних і показати, що лінія, яка сполучає цю точку з центром даного коло, проходить через середину хорди АВ.

85. До еліпса проведено дві дотичні, паралельні прямій . Визначити відстань між ними і показати, що лінія, яка сполучає точки дотику, проходить через центр еліпса.

86. Через точку (– 4, 2) провести пряму на відстані від точки (7, – 1).

87. Відомо, що ексцентриситет еліпса дорівнює , а відстань між фокусами — 10. Визначити радіуси-вектори точки, абсциса якої додатна, а ордината дорівнює .

88. До еліпса, відстань між директрисами якого становить 18, а ексцентриситет дорівнює , проведено дотичну в його точці
(– 1, ). Знайти довжини перпендикулярів, проведених з фокусів еліпса до цієї дотичної.

89. З точки (1, 2) проведено дотичні до еліпса . Знайти рівняння хорди, що сполучає точки дотику, і рівняння кола, побудованого на цій хорді як на діаметрі.

90. З точки А (3, 4) проведено дотичні до еліпса . Знайти рівняння кола, яке проходить через точку А та точки дотику.

91. Знайти до еліпса дотичну, щодо якої виконується умова: різниця довжин перпендикулярів, проведених до неї з фокусів, дорівнює половині відстані між фокусами.

92. Знайти відстань між дотичними до еліпса , паралельними прямій .

93. Дано еліпс . Знайти його дотичні, паралельні прямій, яка сполучає точки перетину кіл і .

94. Дано координати вершин трикутника А(1, 2), В(– 1, 1) і
С(–2, 3). Знайти рівняння перпендикуляра, поставленого із середини сторони АС, і точку перетину його з прямою, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.

95. Дано два кола, заданих рівняннями і . Знайти площу чотирикутника, вершинами якого є центр цих кіл і точки їх перетину. Записати рівняння спільної хорди зазначених кіл і довести, що вона перпендикулярна до лінії центрів.

96. Дано два кола, рівняння яких і . До першого з них у точці перетину цих кіл проведено дотичні. Знайти відстань від точки перетину цих дотичних до спільної хорди кіл.

Поверхні другого порядку

1.Обчислити визначник , де а, b і с — косинуси кутів, утворених прямою з осями прямокутної системи координат.

2. Скориставшись теорією проекцій, обчислити кут між протилежними ребрами правильного тетраедра.

3. У паралелепіпеді, усі ребра якого дорівнюють 1, дано кути = 60°, = 120° і = 120°. Визначити довжину діагоналі АD та її кут зі стороною ОС (див. рисунок).

4. Знайти відстань між точками
М₁(2, 1, 2) і М₂(1, 2, 1) у прямокутній системі координат

5. Знайти відстань між точками
М₁(1, 1, 2) і М₂(2, 1, 1), якщо дано кути між осями координат: = 60°, = = 90°.

6. Знайти косинус кута між прямими, розміщеними в площинах, які поділяють відповідно кути ÐxOy і ÐzOx пополам. Осі координат прямокутні.

7. Знайти об’єм паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 1, 1 і 2, а плоскі кути, що утворюють деякий тригранний кут, становлять 120°, 150° і 60°.

8. Знайти косинуси кутів між діагоналями куба, напрямленими так, що проекції їх на деяке ребро збігаються.

9. Знайти косинуси кутів, утворених діагоналями прямокутного паралелепіпеда OAEDCBGF зі сторонами ОD, ОА і ОС завдовжки відповідно 1, 2 і 3, якщо діагоналі й сторони напрямлені так, як зображено на рис. 3.70.

10. Знайти кути між діагоналями паралелепіпеда, заданого умовою поперед­ньої задачі.

11. На відрізку прямої, що сполучає точки М₁(1, 2, – 1) і М₂(– 1, 2, 1), знайти точку М, яка лежить між точками М₁ і М₂, причому .

12. Знайти точку М на прямій, яка сполучає точки М₁(1, 2, – 1) і М₂(–1, 2, 1), що не лежить між точками М₁ і М₂, коли .

13. Дано тетраедр, ребро якого дорівнює 1. Узявши за координатні осі ребра цього тетраедра, що виходять з однієї вершини, знайти координати середин його ребер і проекцій вершин на протилежні грані.

14. Знайти точки А, В, С на трьох координатних площинах так, щоб трикутна піраміда тетраедр ОАВС (О початок координат) була правильною з довжиною ребра l.

15. Косинуси кутів між старими і новими осями прямокутної системи координат наведено в таблиці. Початок координат нової системи міститься в точці (1, 2, 3). Скласти формули переходу від старих координат до нових.

Старі координати	Нові координати
Х1	Y1	Z1
X
Y
Z

16. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від точок М₀(х₀, у₀, z₀) і М₁(х₁, у₁, z₁) у прямокутній системі координат.

17. Записати рівняння сфери із центром у точці (2, 1, 0) і радіусом, що дорівнює 2.

18. Знайти координати центра та радіус кулі .

19. Якими кривими є лінії перетину циліндрів і ?

20. Знайти точки перетину поверхонь:

а) , , ;