Відстань між двома точками 2 страница

б) , , .

21. Знайти площину, що ділить пополам кут між площинами , і лежить у тому ж куті між ними, в якому початок координат.

Площина

22. Узявши ребра тетраедра за координатні осі, знайти рівняння площин, кожна з яких проходить через ребро і середину протилежного ребра. Довести, що ці шість площин перетинаються.

23. Знайти рівняння площини, що проходить через точки

а) М ₁(2, 1, 1), М ₂(–1, 2, 1) і М ₃(2, 2, 1);

б) М ₁(1, 1, –3), М ₂(2, 0, – 3), М ₃(1, –1, –1).

24. Знайти рівняння ребер тетраедра з вершинами в точках М ₁(1, 1, 1), М ₂(–1, 1, 1), М ₃(1, –1, 1) і М ₄(1, 1, –1).

25. Знайти площину, що утворює на осях відрізки завдовжки 2, 3 і 4.

26. Знайти відрізки на осях, що визначають площину .

27. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку
М (1, 2, – 1) і утворює на осях Ох і Oz відрізки, що дорівнюють відповідно 2 і 1.

28. Знайти рівняння площини, яка проходить через точку М (1, 2, 1) і утворює на осях Ох і Оy відрізки, які дорівнюють відповідно 2 і – 3.

29. Знайти косинуси лінійних кутів тих двогранних, які утворені площиною з координатними площинами, та косинуси кутів зазначеної площини і з осями координат.

30. Знайти кути, утворені перпендикуляром до площини з осями координат.

31. Через точку М (1, – 1, 1) провести площину перпендикулярно до прямої , .

32. Через точки М (1, 1, 1) і М ₁((2, 2, 2) провести площини перпендикулярно до площини .

33. Через точки М (2, 0, 0) і М ₁(0, 2, 0) провести площини під кутом 45° до площини .

34. З’ясувати, як розміщені точки М ₁(2, 1, 1), М ₂(2, 1, 3) — по один бік від площини або по різні її боки.

35. Визначити, чи лежить початок координат всередині тетраедра, заданого площинами , , , .

36. Знайти об’єм тетраедра, заданого умовами попередньої задачі.

37. Обчислити об’єм тетраедра з вершинами в точках М ₁(1, 1, 1), М ₂(– 1, 1, 1), М ₃(1, – 1, 1), М ₄(1, 1, –1).

38. Знайти відстань від точки М (2, 1, 1) до площини .

39. Знайти відстань від точки М (–1, 2, 1) до площини .

40. Знайти відстань від точки М (х ₀, у ₀, z ₀) до площини , знаючи, що це точка, відокремлена від початку координат даною площиною.

41. Знайти відстань між паралельними площинами , .

42. Знайти відстань між паралельними площинами , .

43. На осі Oz знайти точку, рівновіддалену від площин і .

44. Знайти площину, рівновіддалену від двох паралельних площин , .

45. На лінії перетину площин , знайти точку, рівновіддалену від паралельних площин , .

46. Знайти об’єм тетраедра , , , .

47. Через точку перетину площин , , провести площини паралельно площині , не знаходячи зазначеної точки.

48. Знайти рівняння сфери з центром у точці (3, – 2, 30), коли відоме рівняння дотичної площини .

49. Знайти площу трикутника, вершини якого М (1, –1, 1), М ₁(2, 1, – 1) і М ₂(– 1, – 1, – 2).

50. Знайти площу трикутника, вершини якого М ₁(1, – 1, 2), М ₂(– 1, 2, 1), М ₃(–1, 1, 1).

51. Відомо, що площини , , перпендикулярні до однієї площини. Знайти l за умовою, що площини перетинаються по прямій.

52. Знайти точку перетину площин , , .

53. Через точку (1, 4, 1) провести площину, дотичну до парабол у = 0, і , .

54. Знайти площини, які проектують прямі і на площини координат.

55. Знайти площини, які проектують пряму , на площини координат. Подати рівняння прямої у вигляді пропорції.

56. Подати у канонічному вигляді рівняння прямих:

57. Знайти кути, утворені прямими

і

з осями координат і між собою.

58. Знайти кут між прямими

і

59. Знайти кут між прямими

і

60. Знайти кут j між прямою , і площиною .

61. Провести пряму через точки М ₁(2, 1, 2), М ₂(1, 2, 1).

62. Провести пряму через точки М ₁(3, 0, 1), М ₂(– 1, 2, 2).

63. Провести пряму через точки: 1) М (2, 1, 3), М ₁(1, 1, 2);
2) М (1, 2, 1), М ₁(1, 2, 3).

64. Провести пряму через точки: 1) М (1, 2, 1), М ₁(1, 3, 2);
2) М (2, 1, 1), М ₁(3, 1, 1).

65. Через точку М (1, 2, 1) провести пряму, перпендикулярну до площини .

66. Через точку М (– 1, 1, 2) провести пряму, перпендикулярну до площини .

67. Через точку М (1, 2, 1) провести площину, перпендикулярну до прямих:

1) ; 2)

68. Через точку М (2, 2, 1) провести площину, перпендикулярну до прямої , .

69. Через точку М (2, 1, 1) провести прямі, паралельні прямим

,

70. Через точку М (1, 2, 1) провести прямі, паралельні прямим

71. Через точку М (–1, 2, 1) провести пряму, паралельну площинам , .

72. Через точку М (2, 1, 1) провести пряму, паралельну прямій , .

73. Через точку М (1, 1, 2) провести площину, паралельну прямим , .

74. Через точку М (1, 2, 1) провести площину, паралельну прямим

75. Через точку М (2, 1, 1) провести площину, паралельну прямим

.

76. Через пряму , і точку
М (2, 1, 1) провести площину.

77. Через пряму , і точку М (1, 1, 2) провести площину.

78. Через пряму , провести площину, перпендикулярну до площини .

79. Через пряму провести площину, перпендикулярну до площини .

80. Через пряму провести площину, паралельну прямій , .

81. Провести площину через точки М ₁(2, 1, 1), М ₂(– 1, 2, 2), М ₃(4, 3, – 1).

82. Знайти рівняння проекції прямої , на площину .

83. Знайти точку перетину прямої з площиною .

84. Знайти проекцію точки М (2, 1, 1) на пряму .

85. Знайти проекцію точки М (– 1, 2, 0) на площину .

86. Визначити l у рівнянні прямої так, щоб ця пряма перетинала пряму .

87. Знайти прямі, що належать площині та перпендикулярні до прямої яка лежить у тій самій площині.

88. Через точку перетину площини з прямою провести пряму, що лежить у цій площині й перпендикулярна до даної прямої.

89. Знайти рівняння та довжину перпендикуляра, опущеного з точки М(0, –1, 1) на пряму , .

90. Знайти рівняння спільного перпендикуляра до прямих

і

91. Знайти рівняння спільного перпендикуляра до прямих

х = 0, у = z і z = 0, x + y –1 = 0.

92. Знайти найкоротшу відстань між прямими

та .

93. Знайти найкоротшу відстань між прямими

та

94. Знайти найкоротшу відстань між прямими , та рівняння їх спільного перпендикуляра.

95. Записати рівняння проекцій перпендикуляра з точки М (2, 1, 1) на площину , на площини хy, xz, yz.

96. Через точку М (1, – 1, 1) провести пряму так, щоб середина її відрізка між площинами і лежала на прямій .

97. Знайти рівняння площини, в якій лежать прямі та .

98. Переконавшись, що прямі

та

перетинаються, знайти площину, в якій вони лежать.

99. Знайти прямі, що перетинають прямі

та

і паралельні площині х + y + z = 0.

100. Знайти прямі, які перетинають прямі

та та

101. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від двох прямих і .

102. Знайти рівняння геометричного місця прямих, що проходять через точку М і перпендикулярні до прямої .

103. Знайти прямі, які перетинають прямі

а також їх геометричне місце.

104. Знайти геометричне місце прямих, які проходять через вісь Ох і паралельні прямій .

105. Скласти рівняння конічної поверхні, вершиною якої є початком координат, а напрямна задана рівнянням і .

106. Знайти загальне рівняння поверхонь другого порядку, які перетинаються площиною xOy по кривій .

107. Знайти рівняння поверхні другого порядку, на якій лежать кола .

108. Показати, що рівняння задовольняють лише такі точки, що лежать на прямій , .

109. Показати, що рівняння задовольняють лише координати точки
М (– 1, 1, 1).

110. Скласти рівняння другого порядку, які задовольняють лише координати точки М(2, 1, 1).

111. Знайти прямі, по яких поверхня конуса перетинається площиною .

112. Знайти твірні поверхні , які проходять через точку (1, 1, 1).

113. Знайти прямі, паралельні твірним поверхонь і .

114. Знайти центр поверхні . Перетворити рівняння, перенісши початок координат у знайдений центр.

Спростити рівняння поверхонь та записати відповідні формули перетворення координатних осей.

115. .

116. .

117. .

118. .

119. .

120. .

121. .

122. .

123. .

124. .

125. .

126. .

127. .

128. .

129. .

130. .

131. .

132. .

Спростити рівняння поверхонь:

133. .

134. .

135. .

136. Через пряму провести площину, яка перетинає поверхню по рівнобічній гіперболі.

137. Через точку (a, b, g) провести площину, що перетинає еліпсоїд по еліпсу, з центром у тій самій точці.

138. Знайти координати вершини параболи, утвореної в результаті перетину циліндра площиною .

Дата добавления: 2014-11-20