Критерий устойчивости Найквиста

Этот частотный крите­рий устойчивости, разработанный в 1932 г. американским уче­ным Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкну­той системы по виду амплитудно-фазовой характеристики ра­зомкнутой системы.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы

m ≤ n. (3.107)

Подставляя в (3.107) s = jω, получаем частотную передаточ­ную функцию разомкнутой системы:

, (3.108)

где U(ω) иY(ω)— действительная и мнимая части частот­ной передаточной функции соответственно; модуль А(ω) и фаза φ(ω) частотной передаточной функции равны:

; . (3.109)

Если изменять частоту ω от —∞ до ∞, то вектор W(jω) будет меняться по величине и фазе. Кривую, описываемую кон­цом этого вектора в комплексной плоскости, называют амплитудно-фазовой характеристи­койразомкнутой системы(рис. 3.13).

Рис. 3.13. Амплитудно-фазовая характеристи­каразомкнутой системы

Амплитудно-фазовая харак­теристика симметрична относи­тельно вещественной оси, поэто­му обычно вычерчивают только ту часть ее, которая соответст­вует положительным частотам ω > 0 (сплошная линия на рис. 3.13), а ветвь этой характеристи­ки, соответствующая отрица­тельным частотам ω < 0 (пунк­тирная линия на рис.3.13), может быть найдена как зеркаль­ное отражение ветви, соответствующей положительным часто­там, относительно вещественной оси. Рассмотрим вспомогательную функцию:

(3.110)

- характеристический полином замкнутой системы;

— характеристический полином разомкнутой системы;

— полином степени m.

Заметим, что так как в реальныхсистемах степень полино­ма R(s)не выше степени полинома Q ( s), т. е. m ≤ n,то сте­пени числителя и знаменателя дроби (3.110) одинаковы и рав­ны n.

Подставляя в (3.110) s = jω, получим

(3.111)

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы D(s)= 0 имеет mправых корней и n—mлевых корней, а ха­рактеристическое уравнение разомкнутой системы Q(s) = 0 имеет l правых иn— l левых корней.

При изменении частоты ω от — ∞ до ∞ изменение угла по­ворота вектора φ(jω) на основе принципа аргумента будет

| ω =

ΔArg φ(jω) = ΔArg D(jω) - ΔArg Q(jω) =

| ω = - ∞

=π[(n-m)-m]-π[(n-l)-l]=2π(l-m) (3.112)

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и доста­точно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми, т. е. m = 0. Отсюда суммарный поворот вектора φ(jω) устойчивой системы вокруг начала координат должен быть равен

| ω = ∞

ΔArg φ(jω) = 2πl, (3.113)

| ω = - ∞

где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Обычно рассматривают только положительные частоты (ω > 0), в этом случае угол поворота вектора φ(jω) будет вдвое меньше, т. е.

| ω = ∞

ΔArg φ(jω) = πl = 2πl/2, (3.114)

| ω = - ∞

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если разомкнутая система является неус­тойчивой и имеет l правых корней, то замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая ха­рактеристика вспомогательной функции при изменении частоты ω от 0 до ∞ охватывает начало координат в положи­тельном направлении раз.

Легко заметить, что число оборотов вектора вокруг начала координат равно числу оборотов вектора W(jω)) во­круг точки (—1, j0).

На основании сказанного вытекает следующая формулиров­ка критерия устойчивости Найквиста: если разомкнутая сис­тема автоматического управления неустойчива, то, для того чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фа­зовая характеристика разомкнутой системы W(jω) при из­менении частоты ω от 0 до ∞ oхватывала точку (—1, j0) в положительном направлении раз, где l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Рис. 3.14. Амплитудно-фазовые характеристи­ки функций (а) и W(jω) (б).

На рис. 3.14 а показана амплитудно-фазовая характеристи­ка , а на рис. 3.14 б — амплитудно-фазовая характе­ристика W(jω), соответствующие устойчивой замкнутой сис­теме, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и имела число правых корней l = 2. Обычно в реальных систе­мах W(jω) = 0, и поэтому φ(jω) = 1. (3.115)

|ω = ∞ |ω = ∞

При сложной форме характеристики W(jω) могут возник­нуть затруднения при определении числа ее оборотов вок­руг критической точки (—1, j0). В этом случае для суждения об устойчивости удобно применять «правило переходов».

Назовем переход характеристики W(jω) через отрезок ве­щественной оси слева от точки (—1, j0), т. е. через отрезок (— ∞, —1) при возрастании ω положительным, если он про­исходит сверху вниз, и отрицательным, если он происходит снизу вверх. Если характеристика W(jω) начинается на отрез­ке (— ∞, —1) при ω = 0 или заканчивается на нем при ω = ∞, то в этих случаях считают, что она совершает полпере­хода. (Рис. 3.15):

Рис. 3.15. Переходы характеристики W(jω)

Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так: если разомкнутая система автоматического управления не­устойчива, то, для того чтобы замкнутая система автомати­ческого управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицатель­ных переходов амплитудно-фазовой характеристики разомк­нутой системы W(jω) через отрезок вещественной оси (—∞, — 1) при изменении частоты ω от 0 до оо была равна , где l — число правых корней характеристического уравнения ра­зомкнутой системы.

2.Если система автоматического управления в разомкнутом состоянии устойчива, т. е. l = 0, то приращение аргумента вектора равно нулю:

| ω = ∞

ΔArg φ(jω) = 2πl = 0. (3.116)

| ω = - ∞

Это означает, что для устойчивости замкнутой системы не­обходимо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика не охватывала начало координат (рис. 3.16а), а амплитудно-фазовая характеристика W(jω) не охватывала точку с коорди­натами (—1, j0), (рис. 3.16 б).

Рис. 3.16. Амплитудно-фазовая характеристика W(jω)

Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося на практике случая получаем следующую формулировку кри­терия Найквиста: если разомкнутая система автоматическо­го управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W(jω) не охватывает точку (—1, j0).

3.Разомкнутая система на границе устойчивости.

Характеристический полином такой системы имеет нулевые или

чисто мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественные

части.

Если число нулевых корней ν, то АФЧХ при ω = 0 дугой бесконечно большого радиуса перемещается от положительной вещественной полуоси на угол 90°ν по часовой стрелке. Если есть пара

чисто мнимых корней (в знаменателе частотной передаточной функции

имеется множитель ), то АФЧХ при частоте дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол 180° по часовой стрелке.

В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы не­обходимо

и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении ω от 0

до ∞, дополненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса

не охватывала точку (—1, j0).

Дата добавления: 2014-11-20