Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам

В инженерной практике широкое применение получил ана­лиз устойчивости систем автоматического управления, осно­ванный на применении логарифмических частотных характе­ристик разомкнутой системы. Это обусловлено прежде всего тем, что построение логарифмических частотных характерис­тик разомкнутых систем, особенно асимптотических логариф­мических частотных характеристик, значительно проще, чем построение годографа амплитудно-фазовых характеристик.

Покажем, каким требованиям должны удовлетворять ло­гарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФХ) ра­зомкнутой системы, при которых обеспечивалась бы устойчи­вость системы в замкнутом состоянии.

Как было показано выше, устойчивость связана с числом переходов амплитудно-фазовой характеристики W(jω) отрез­ка (— ∞, —1) отрицательной вещественной полуоси. Когда амплитудно-фазовая характеристика W(jω) пересекает отри­цательную вещественную полуось, ЛФХ пересекает одну из линий ± π(2i + 1), где i = 0, 1,2, 3,... (рис.3.27).

Рис. 3.27. Определение устойчивости по ЛАХ и ЛФХ.

Переходы через эти линии не опасны с точки зрения устойчивости, если они совершаются справа от точки (— 1, j0), т. е. если при этом модуль амплитудно-фазовой характеристики меньше единицы |W(jω)| < l и, следовательно, если ординаты ЛАХ отрица­тельны, т. е. Lm А(ω) = 20 lgW(jω)| < 0. Поэтому область отрицательных ЛАХ при исследовании устойчивости инте­реса не представляет.

Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (—∞, —1) характеристики W(jω) соответствует пересечение ЛФХ при Lm А(ω) > 0 прямых ± π (2i+1) снизу вверх (точка 2 на рис. 3.27), а отрицательному переходу — сверху вниз (точка 1 на рис. 3.27).

Критерий устойчивости Найквиста применительно к лога­рифмическим частотным характеристикам может быть сформу­лирован следующим образом: для того чтобы система автома­тического управления была устойчива, необходимо и достаточ­но, чтобы разность между числом положительных и отрица­тельных переходов логарифмической фазочастотной характе­ристикой прямых ± (2i + 1), i = 0,1, 2,..., во всех облас­тях, где логарифмическая амплитудно-частотная характерис­тика положительна LmA (ω) > 0, была равна l/2 (l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

На рис. 3.27 приведены для примера амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W(jω) и соответствую­щие ей ЛАХ и ЛФХ. Из анализа этих ЛАХ и ЛФХ видно, что разность между числом положительных и отрицательных пере­ходов ЛФХ прямых — π при Lm А(ω) > 0 равна нулю. Та­ким образом, если разомкнутая система была устойчива (l = 0), то и замкнутая система будет устойчива, при этом за­пасы устойчивости по амплитуде равны h₁и h.₂,а запас устой­чивости по фазе равен φ.

Дата добавления: 2014-11-20