Закон сохранения момента импульса. Работа при вращении тела. Кинетическая энергия вращательного движения

ТЕМА 6. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ПРИ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ

Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы

Работа при вращении тела: ΔA = M_zΔφ, где Δφ - угол поворота тела; M_z - момент силы относительно оси

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: , где J – момент инерции тела относительно оси, ω - его угловая скорость Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения: где m – масса тела; v_c - скорость центра масс тела; J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс; ω –угловая скорость тела

Пример 8. На скамье Жуковского сидит человек и держит в вытянутых руках гири массой m =10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи l ₁ = 50 см. Скамья вращается с частотой n₁ = 1,0 с^-1. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу A произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири до оси уменьшится до l ₂ = 20 см. Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения J =2,5 кг·м². Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи.

Условие:

m = 10 кг;

l ₁=50 см = 0,5 м;

n₁ =1,0 с^-1;

l ₂ =20 см =0,2 м;

J = 2,5 кг·м².

n₂ -? А -?

Решение. Частота вращения скамьи Жуковского изменится в результате действий, производимых человеком при сближении гирь. В системе тел скамья – человек – гири все силы, кроме сил реакции опоры, являются внутренними и не изменяют момента импульса системы. Однако моменты сил реакции опоры относительно вертикальной оси равны нулю. (Для скамьи Жуковского силы трения в оси можно считать отсутствующими.) Следовательно, момент импульса этой системы остается постоянным:

; , (1)

где J₁ω₁, J₂ω₂ - моменты импульса системы соответственно до и после сближения гирь.

Перепишем векторное уравнение (1) в скалярном виде:

J₁ω₁ = J₂ω₂. (2)

До сближения гирь момент инерции всей системы: J₁ = J₀ + 2ml₁².

После сближения: J₂ = J₀ + 2ml₂²,

где m - масса каждой гири.

Выражая угловую скорость через частоту вращения по формуле ω = 2πn и подставляя ее в уравнение (1) получаем

(J₀ + 2ml₁²)n₁ = (J₀ + 2ml₂²)n₂.

Откуда 2,3 c^-1.

Все внешние силы не создают вращающего момента относительно оси и, следовательно, не совершают работы. Поэтому изменение кинетической энергии системы равно работе, совершенной человеком:

A = W₂ - W₁ = .

Учитывая, что ω₂ = J₁ω₁/J₂, получаем работу, совершаемую человеком:

= 190 Дж.

Дата добавления: 2014-11-20