Применение булевых функций для анализа и синтеза релейно-контактных схем. Упрощение и преобразование релейно-контактных схем

В компьютерах и других автоматических устройствах широко применяются электрические схемы, содержащие сотни и тысячи переключательных элементов: реле, выключателей и т.п. Разработка таких схем весьма трудоёмкое дело. Оказалось, что для разработки и упрощения схем с успехом может быть использован аппарат алгебры логики.

Переключательной схемой считают участок электрической цепи, включающий ряд переключателей. Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение И в том и только в том случае, когда переключатель замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то значение х будет Л. Будем считать, что переменные х и связаны таким образом, что когда контакт х замкнут, то разомкнут, и наоборот.

Всей переключательной схеме можно поставить в соответствие логическую переменную, равную И, если схема проводит ток, и равную Л - если не проводит. Эта переменная является функцией от переменных, соответствующих всем переключателям схемы, и называется функцией проводимости.

Найдем функции проводимости F некоторых переключательных схем:

a) - схема не содержит переключателей и проводит ток всегда, следовательно F = И;

б) - схема содержит один постоянно разомкнутый контакт, следовательно F = Л;

в) - схема проводит ток, когда переключатель х замкнут, и не проводит, когда х разомкнут, следовательно, F(x) = x;

г) - схема проводит ток, когда переключатель х разомкнут, и не проводит, когда х замкнут, следовательно, F(x) = ;

д) - схема проводит ток, когда хотя бы один из переключателей замкнут (параллельное соединение), следовательно, F(x, y) = x Ú y.

е) - схема проводит ток, когда оба переключателя замкнуты (последовательное соединение), следовательно, F(x, y) = x & y;

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

Синтез схемы по заданным условиям ее работы сводится к:

1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
2. упрощению этой функции;
3. построению соответствующей схемы.

Анализ схемы сводится к:

1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
2. получению упрощённой формулы.

Примеры выполнения заданий:

1. Необходимо спроектировать (синтезировать) электрическую цепь, содержащую 4 переключателя x, y, z и t, такую, чтобы она проводила ток тогда и только тогда, когда замкнут контакт переключателя t и какой-нибудь из остальных трёх контактов.

Функция имеет вид: F(x, y, z, t) = t & (x Ú y Ú z). Схема имеет вид:

2. Требуется произвести анализ схемы:

Имеется четыре возможных пути прохождения тока при замкнутых переключателях a, b, c, d, e: через переключатели a, b; через переключатели a, e, d; через переключатели c, d и через переключатели c, e, b. Функция проводимости имеет вид: F(a, b, c, d, e) = a & b Ú a & e & d Ú c & d Ú c & e & b или F(a, b, c, d, e) = a & (b Ú e & d) Ú c & (d Ú e & b).

3. Требуется произвести анализ и, если возможно, упрощение схемы. Постройте упрощенную схему.

Функция проводимости имеет вид: F(x, y, z) = &( Ú y)Ú (zÚ x& )

F(x, y, z) = & Ú & y Ú z Ú x & º

º & Ú ( Ú z) & (y Ú z) Ú x & º

º & Ú И & (y Ú z) Ú x & º & Ú y Ú z Ú x & º

º & Ú z Ú x & Ú y º ( Ú z) & ( Ú z) Ú (x Ú y) & ( Ú y) º

º И & ( Ú z) Ú (x Ú y) & И º Ú z Ú x Ú y º И Ú y Ú z º И

Упрощенная схема имеет вид:

4. Проверьте равносильность следующих переключательных схем:

Функция проводимости имеет вид:

F(a, b, c) = (a Ú )& c Ú a & Ú c & (b Ú ).

F(a, b, c) = a & c Ú & c Ú a & Ú c & b Ú c & º

º a & (c Ú ) Ú с & ( Ú b) Ú Л º a & И Ú с & И º a Ú с

Переключательные схемы равносильны.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Минимизируйте методом Квайна - МакКласски булеву функцию
f(x₁, x₂,x_3, x₄), заданную таблицей истинности:

x4x3x2x1	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0	0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1	0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0	1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1	0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0	0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0	1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1	0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0	0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0	1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1

Решение:

Номер группы	Двоичные номера наборов единицы	Номер группы	Двоичные номера наборов единицы

Простые импликанты	Наборы единицы

МДНФ=

2. Укажите функцию F(x1, x2, x3, x4), реализуемую схемой из функциональных элементов:

0) F(x1, x2, x3, x4) =

Дата добавления: 2014-11-20