Вычисление площадей поверхностей тел вращения

Вычисление объемов тел вращения.

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции , ограниченной графиком неотрицательной непрерывной функции , ,осью абсцисс и отрезками прямых (рис. 10.2).

Разобьем отрезок точками на частей равной длины. На каждом из отрезков , выберем некоторую точку и составим интегральную сумму:

, (10.6)

где . Каждый член полученной суммы равен объему кругового цилиндра, а вся сумма равна объему соответствующего ступенчатого тела. Для непрерывной функции ,предел интегральных сумм (10.6) при n→∞ существует и равен объему V рассматриваемого тела вращения:

.

Найдем площадь поверхности, полученной в результате вращения кривой АВ вокруг оси абсцисс. Пусть функция ,непрерывно дифференцируема на отрезке . Через точки проведем прямые, параллельные оси ординат , а их точки пересечения с кривой обозначим через . Соединив эти точки хордами, получим ломаную . При ее вращении вокруг оси абсцисс получается поверхность, которая состоит из боковых поверхностей усеченных конусов, образованных вращением звеньев ломаной . Пусть площадь этой поверхности равна . Площадью поверхности тела вращения будем называть число , равное пределу последовательности площадей :

.

Площадь поверхности, описанной ломаной выразится следующим образом:

, (10.7)

где мы воспользовались формулой (10.5). Сумма (10.7) не является интегральной суммой для функции

, (10.8)

так как в слагаемом, соответствующем отрезку ,фигурируют несколько точек этого отрезка, а именно , , . Однако можно доказать, что предел суммы (10.7) равен пределу интегральной суммы для функции (10.8), т. е.

Таким образом,

.

Дата добавления: 2014-11-20