Функции комплексного переменного

Ряды.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы.

Элементы теории поля.

Поверхностные интегралы. Поток векторное поля через ориентированную поверхность, его физический смысл. Дивергенция векторного поля, свойства. Теорема Остроградского. Линейный интеграл. Циркуляция векторного поля. Ротор (вихрь) векторного поля, свойства ротора. Теорема Стокса. Потенциальное поле. Потенциал. Соленоидальное поле.

Дифференциальные уравнения первого порядка, их общее, частное, особое решения. Задача Коши, теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения первого порядка. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальные уравнения высших порядков, их общее и частное решения, задача Коши. Понижение порядка в дифференциальных уравнениях. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка, структура их решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов. Системы линейных дифференциальных уравнений, основные понятия. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Числовые ряды, сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (признаки сравнения, Даламбера, Гаусса, радикальный признак Коши, интегральный признак). Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные ряды, область сходимости, методы её определения.Степенные ряды, действия над ними. Теорема Абеля о сходимости степенных рядов. Формулы для вычисления радиуса сходимости степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций у =sin x, cos x, e^x, (1 +x)^m, l n (1+ x), arctg x в степенные ряды. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях (приближенное вычисление значений функций, определенных интегралов, приближенное решение дифференциальных уравнений). Тригонометрические ряды Фурье. Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье.

Комплексные числа, изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами. Понятие функции комплексного переменного. Непрерывность. Производная функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Свойства аналитических функций. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Конформные отображения. Интеграл по комплексному переменному. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функции, их классификация. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов.

Дата добавления: 2014-11-20