Напряжения и перемещения при кручении вала круглого сечения

Примем следующие допущения: поперечные сечения вала при действии на него внешних скручивающих моментов поворачиваются в своей плоскости как жесткие диски (гипотеза плоских сечений или Бернулли); в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения. Формулы, полученные на основе этих допущений, подтверждаются опытами.

Выделим из вала бесконечно близкими двумя поперечными сечениями и двумя цилиндрическими поверхностями элементарный цилиндр, показанный на рис.2.3.

Рис.2.3.

Правое сечение цилиндра поворачивается относительно левого при кручении вала на угол . Угол на который поворачивается отрезок АВ на поверхности цилиндра представляет собой угол сдвига.

Из рисунка видно, что ВВ₁ = , отсюда получаем

= ρ . (2.1)

Здесь обозначено .

Величину называют относительным углом закручивания.

По закону Гука при сдвиге (см.формулу 1.6.)

, (2.2)

здесь G – модуль сдвига.

Сравнивая выражения (2.1) и (2.2), получим следующее соотношение между касательным напряжением в поперечном сечении вала и относительным углом закручивания :

G . (2.3)

Отметим, что формула (2.1) отражает геометрическую сторону задачи (условие совместности деформаций и перемещений), формула (2.2.) – физическую сторону (закон Гука), формула (2.3.) – результат рассмотрения геометрической и физической сторон задачи.

Рассмотрим статическую сторону задачи. Выразим крутящий момент через касательные напряжения, суммируя элементарные моменты ( (Рис.2.4.)

Рис.2.4

. (2.4)

Подставив в (2.4) напряжение из (2.3) получим:

. (2.5)

Введем обозначение:

. (2.6)

Интеграл (2.6.) представляет собой геометрическую характеристику и называется полярным моментом инерции сечения, его размерность м⁴. Таким образом

. (2.7)

Отсюда относительный угол закручивания

. (2.8)

Учитывая, что , получим выражение для определения угла закручивания

, (2.9)

где l - расстояние между сечениями, между которыми определяется взаимный угол поворота.

В случае, если диаметр вала и крутящий момент на длине l постоянны, то

. (2.10)

Произведение GJ_p называется - жесткостью поперечного сечения круглого вала при кручении,

G J_P / l - жесткость вала длиной l.

Подставляя (2.8) в (2.3) получим

(2.11)

Из формулы (2.11) следует, что касательные напряжения в поперечных сечениях вала при кручении распределяются по линейному закону вдоль любого радиуса.

При ρ=0 (в центре сечения) , максимального значения напряжения достигают в поперечном сечении вала у его поверхности при ρ = R.

Эпюра касательных напряжений показана на рис. 2.5

Рис.2.5.

. (2.12)

Отношение J_max / ρ_max = W_p называется полярным моментом сопротивления сечения.

С учетом этого обозначения запишем выражение для максимального касательного напряжения в виде:

. (2.13)

Отметим, что для круглого сечения

, (2.14)

. (2.15)

Для кольцевого сечения:

) = ⁴) , (2.16)

⁴)= ⁴) , (2.17)

где R_o, D_o – внутренний радиус и диаметр кольцевого сечения,

С= D_o/ D = R_o/R.

Дата добавления: 2014-11-20