Примеры. 3.17. Найти предел последовательности

3.17. Найти предел последовательности .

Решение. Здесь , при . Умножим и разделим на сопряженное выражение:

.

3.18. Найти предел последовательности .

Решение. Воспользуемся формулой суммы (в нашем случае ) членов арифметической прогрессии:

.

Заметим, что в нашем случае число членов . Тогда

.

3.19. Найти предел последовательности .

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на и воспользуемся тем, что и :

.

3.20. Доказать, что если:

1) , то ;

2) , то .

Решение. 1)Для доказательства, воспользуемся неравенством Бернулли. Пусть , тогда

.

(3.9)

Представим в виде , где , тогда из неравенства (3.9) получим

.

Так как , то и .

2) Пусть теперь . Обозначим , значит и

.

ТЕОРЕМА 3.8 (признак существования предела). Если , и то последовательность также сходится и .

Доказательство. По определению предела последовательности

,

.

Выберем , тогда и . В силу неравенства из условия теоремы:

,

значит

.

Отсюда получим , или для всех , что и означает, что .

Дата добавления: 2014-12-08