Принцип компактности

Ранее было доказано, что всякая сходящаяся последовательность ограничена, обратное утверждение не верно. Однако следующая теорема дает возможность из ограниченной последовательности выделить сходящуюся подпоследовательность.

ТЕОРЕМА 3.16 (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная последовательность содержит в себе сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как по условию последовательность ограничена, то существует отрезок такой, что все элементы содержатся в этом отрезке: .

Разделим пополам: . Так как в последовательности бесконечно много элементов (которые отличаются друг от друга, по крайней мере, порядковым номером), то одна из половинок содержит бесконечное множество элементов последовательности . Эту половину обозначим и отметим в ней из некоторый элемент . Далее разделим пополам и выберем ту половину, которая содержит бесконечно много элементов . Обозначим её и отметим в ней элемент с номером .

Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных отрезков . Причем при и при .

По построению — подпоследовательность последовательности . Покажем, что эта подпоследовательность сходится. По принципу Кантора вложенных отрезков существует единственная точка такая, что

.

Таким образом, по теореме 3.6 доказано, что , то есть подпоследовательность сходится.

Замечание 3.9. Теорему 3.16 часто называют принципом компактности.

Следствие 3.3. Всякое бесконечное ограниченное числовое множество содержит в себе сходящуюся последовательность, все члены которой различны.

Доказательство. Возьмём произвольное число . Множество бесконечно, поэтому можем выбрать . Продолжая этот процесс неограниченно, мы выделим из ограниченную последовательность (так как — ограничено) , все члены которой различны по построению.

Применяя теорему Больцано-Вейерштрасса, из последовательности выделим искомую сходящуюся подпоследовательность .

Следствие 3.4. Из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, которая имеет своим пределом бесконечность определённого знака.

Доказательство. Пусть последовательность не ограничена сверху. Тогда существует номер такой, что . Очевидно, что последовательность также не ограничена сверху (из исходной последовательности она получена отбрасыванием конечного числа первых членов). Поэтому существует номер такой, что .

Продолжая процесс таким же образом, получим последовательность таких номеров , что . Отсюда следует, что — подпоследовательность последовательности и по построению.

Аналогично доказывается для неограниченной снизу и неограниченной последовательностей.

Дата добавления: 2014-12-08