Решение. Функция определена в каждой точке

Решение.

Функция определена в каждой точке . В точке функция не имеет предела (см. пример 4.4), поэтому по определению 5.1 эта функция не является непрерывной в точке .

5.4. Показать, что функция

не является непрерывной в точке .

Хотя в точке существует , но этот предел не совпадает со значением функции в этой же точке (рис. 5.2).

Рис. 5.2. График функции к примеру 5.4

Замечание 5.1. Непрерывность функции в точке предполагает выполнение двух условий:

1) существует ;

2) предел функции совпадает со значением функции в точке , то есть

.

Другими словами, для непрерывных функций справедливо равенство:

.

Замечание 5.2. На языке непрерывность в точке означает, что , удовлетворяющих условию выполнено неравенство .

Замечание 5.3. На языке последовательностей непрерывность в точке означает, что для любой последовательности , такой, что выполнено равенство .

Определение 5.2. Пусть функция задана на промежутке . Функция называется непрерывной в точке слева, если .

Определение 5.3. Пусть функция задана на промежутке . Функция называется непрерывной в точке справа, если .

Дата добавления: 2014-12-08