Свойства функций, непрерывных в точке и на интервале

Решение.

Функция Дирихле определена при . Каждая точка области определения является точкой разрыва II рода, так как не существует ни одного одностороннего предела во всех точках . Действительно, можно построить последовательности и , такие что (или ). Однако , , значит, (или ) не существует.

Свойство I. Непрерывность арифметических операций

ТЕОРЕМА 5.1. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны и функции:

1)

2)

3)

4) если

Доказательство. Непрерывность функций 1)-4) можно доказать исходя из определения непрерывности и свойств функций, имеющих предел. Докажем, например, 3):

,

откуда следует непрерывность функции Остальные утверждения доказываются аналогично.

Следствие 5.1. Если функции и непрерывны на интервале , то указанные выше функции 1)-4) непрерывны на .

Свойство II. Устойчивость значений непрерывных функций

Лемма. Пусть функция задана на отрезке и непрерывна в точке . Если , то существует -окрестность точки такая, что (соответственно ) для всех .

Рис. 5.7. Устойчивость значений непрерывных функций

Доказательство. Докажем для случая (рис. 5.7). Из этого неравенства и в силу плотности множества вещественных чисел найдется такое , что . Используя непрерывность функции в точке , для данного найдем такое, что выполнено неравенство . Отсюда получим, что выполнено неравенство .

Для случая теорема доказывается аналогично.

Замечание 5.5. В условии леммы не исключается, что (). В этом случае утверждение леммы называется свойством устойчивости знака непрерывной функции.

Дата добавления: 2014-12-08