Непрерывность сложной функции

ТЕОРЕМА 5.6. Пусть функция , заданная на интервале с множеством значений , непрерывна в точке , а функция , заданная на интервале с множеством значений , непрерывна в точке , тогда сложная функция с областью определения и множеством значений , непрерывна в точке .

Доказательство. Так как функция непрерывна в точке , то , удовлетворяющего условию справедливо неравенство .

Так как функция непрерывна в точке , то , удовлетворяющего условию справедливо .

Отсюда, , то есть . Значит, по определению, функция непрерывна в точке

Следствие 5.2. Если функция непрерывна на интервале , а функция непрерывна на интервале , то сложная функция непрерывна на интервале .

Замечание 5.12. Утверждение теоремы 5.6 можно записать следующим образом:

.

Следствие 5.3. В условиях теоремы 5.6 справедливо правило замены переменной для пределов непрерывных функций

,

где .

Дата добавления: 2014-12-08