Теоремы о сходящихся числовых последовательностей

ТЕОРЕМА 3.4 (ограниченность сходящейся последовательности). Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность ограничена и . Тогда

.

Так как

,

то оставшаяся часть последовательности имеет наибольшее и наименьшее значения. Обозначим , . Тогда выполнено неравенство .

ТЕОРЕМА 3.5. Если и , то существует номер такой, что выполнено .

Доказательство. Выберем и так, чтобы -окрестности точек а и b не пересекались. Так как , то для всех выполнено неравенство .

В силу определения предела последовательности существуют номера и такие, что при и при .

Если взять , то при будет выполнено неравенство .

Следствие 3.2. Если существует и (или ), где , то существует номер такой, что для всех выполнено неравенство .

ТЕОРЕМА 3.6 (предельный переход в неравенствах). Пусть и сходящиеся последовательности и . Тогда .

Доказательство. Пусть и . Нужно доказать, что . Докажем методом от противного. Предположим, что .

По определению предела последовательности

,

(3.5)

.

(3.6)

Пусть , тогда для любого и для всех номеров одновременно выполнены неравенства (3.5) и (3.6), следовательно,

.

Однако неравенство не выполняется, например, для . Получили противоречие. Значит, предпосылка неверна и .

ТЕОРЕМА 3.7 (арифметические действия с пределами). Если последовательности и имеют конечные пределы и , то последовательности , , , также сходятся и выполняются равенства:

1) ;

2) ;

3) , где (постоянный множитель можно выносить за знак предела);

4) , если .

Дата добавления: 2014-12-08