КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Свойства бесконечно малых последовательностейПримеры. 3.10. Последовательность — бесконечно малая, так как . 3.11. — бесконечно малая последовательность, так как . 3.12. — бесконечно малая последовательность, так как .
Свойство I. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Пусть и — бесконечно малые последовательности. Покажем, что — бесконечно малая последовательность. По предположению . Тогда, по определению предела, существует число такое, что выполнено неравенство
и существует число такое, что выполнено
Возьмем, . Тогда неравенства (3.3) и (3.4) выполнены одновременно и . Следовательно, . Аналогично, для разности получаем . Следовательно, . Свойство II. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью. Доказательство. Пусть — бесконечно малая последовательность, то есть и — ограниченная, то есть, существует такое число , что выполнено неравенство . По определению предела, существует число такое, что выполнено неравенство . Для всех имеем: . Это означает, что . Следствие 3.1. Последовательность , где — бесконечно малые последовательности, — ограниченные, является бесконечно малой последовательностью. ТЕОРЕМА 3.2. Для того чтобы число a было пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы ее общий член имел вид , где — бесконечно малая последовательность. Доказательство. Необходимость. Пусть . Докажем, что ее общий член имеет вид , где — бесконечно малая последовательность. Определим последовательность . Тогда из условия следует, что существует число такое, что выполнено . Значит, . Это равносильно тому, что , то есть, последовательность — бесконечно малая и . Достаточность. Пусть , где — бесконечно малая последовательность. Докажем, что . Так как, , то . Поскольку , то существует число такое, что выполнено . Отсюда следует, что .
Дата добавления: 2014-12-08; Просмотров: 471; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |