Примеры. 3.1. Пусть . Членами этой последовательности являются числа: , которые образуют геометрическую прогрессию

Примеры.

3.1. Пусть . Членами этой последовательности являются числа: , которые образуют геометрическую прогрессию.

3.2. Последовательности соответствуют числа

Определение 3.2. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что выполняется неравенство и ограниченной снизу, если существует такое число , что выполняется неравенство .

Ограниченная сверху и снизу последовательность называется ограниченной. Это определение эквивалентно следующему определению.

Определение 3.3. Последовательность называется ограниченной, если существует число , такая что .

Геометрически это определение означает, что существует отрезок такой, что все элементы для любого .

3.3. Последовательность ограничена снизу числом 1.

3.4. Последовательность ограничена, так как .

3.5. Последовательность ограничена снизу числом , сверху числом 1, то есть . Следовательно, последовательность ограничена.

3.6. Последовательность ограничена, так как, например, при выполняется неравенство для всех .

Определение 3.4. Число называется пределом последовательности , , если для любого существует такой номер , что при всех выполняется неравенство .

Обозначают:

.

Раскрывая модуль в неравенстве , получим двойное неравенство:

.

Тогда на геометрическом языке определение предела означает, что, начиная с некоторого номера , то есть, при , элементы последовательности находятся в интервале (рис. 3.1). Напомним, что интервал называют -окрестностью числа .

Рис. 3.1. -окрестность числа

Вне любой -окрестности точки содержится разве лишь конечное число членов последовательности и это число зависит от .

Если последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится, в противном случае — расходится.

Замечание 3.1. Из определения предела последовательности вытекает, что значения конечного числа первых членов последовательности не влияют ни на ее сходимость, ни на значение предела.

Дата добавления: 2014-12-08