Доказательство. 1) Из определения предела последовательности следует, что выполнено или , (3.7)

1) Из определения предела последовательности следует, что выполнено или

,

(3.7)

.

(3.8)

Возьмём , тогда выполнены неравенства (3.7) и (3.8) одновременно.

сложим правые части неравенств (3.7) и (3.8), тогда

,

то есть — это значит, что . Утверждение для доказано.

Для последовательности доказывается аналогично.

2) По теореме 3.4 обе последовательности и ограничены, то есть выполнено .

Пусть и , где . По определению предела последовательности: , где такое, что выполняются одновременно неравенства и .

При имеем:

.

Таким образом, мы показали, что .

3) Рассмотрим вспомогательную последовательность , и применим доказанное выше равенство для последовательности , учитывая, что .

4) Если , то и по следствию 3.2:

.

Если , то , тогда

.

То есть последовательность ограничена.

Последовательность сходится, а значит ограничена. Поэтому можно записать неравенства

Пользуясь определением предела последовательности, получим, что одновременно выполняются неравенства:

.

При любом имеем

.

Замечание 3.4. Если последовательности имеют бесконечные пределы или знаменатель дроби стремится к нулю, утверждения из теоремы 3.7 вообще говоря, не имеют места. Приведем примеры.

Дата добавления: 2014-12-08