Критерий устойчивости Гурвица

Лекция № 24.

Расположение корней в комплексной плоскости.

Для анализа устойчивости АСР корни характеристического уравнения удобнее представить в комплексной плоскости. Каждому корню будет соответствовать точка, расположенная в квадранте комплексной плоскости.

Для устойчивой системы все корни должны лежать в левой полуплоскости.

Вывод: Таким образом, по виду корней и их расположению в комплексной плоскости можно судить об устойчивости АСР.

На практике определяют устойчивость по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней. Эти оценки называются критериями устойчивости.

Тема 2.2: «Алгебраические критерии устойчивости Гурвица и Рауса».

Критерий относится к разряду алгебраических критериев. Он выражает условия устойчивости в форме определителей, составленных из коэффициентов характеристического уравнения.

Критерий Гурвица читается:

Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все определители Гурвица были положительными.

Анализ устойчивости ведется в следующем порядке:

1) Составляется характеристическое уравнение системы:

2) Составляется главный определитель Гурвица:

- по главной диагонали выписываются все коэффициенты уравнения, начиная с до последнего в порядке возрастания индексов;

- столбцы дополняются вверх от диагонали, путем вписывая коэффициентов с последовательно возрастающим индексом;

- вниз от диагонали столбцы дополняются вписыванием коэффициентов с последовательно убывающим индексом;

- на место коэффициентов, имеющих индексы больше и меньше нуля, подставляются нули.

3) На основании главного определителя подсчитываются все остальные определители Гурвица.

; ; и т.д.

Примеры:

1) Для системы первого порядка с уравнением , условие устойчивости - .

2) Система второго порядка , условие устойчивости - .

3) Система третьего порядка с уравнением , условия устойчивости:

-

- .

4) Система четвертого порядка , условия устойчивости:

-

-

-

Из приведенных примеров видно, что с повышением системы характеристического уравнения расчет устойчивости усложняется. Поэтому для систем высокого порядка удобнее пользоваться критерием Рауса.

Дата добавления: 2014-12-08