Анализ устойчивости по виду корней характеристического уравнения

Характеристическое уравнение имеет вид:

Это алгебраическое уравнение порядка. Решение его будет иметь . Величина и их знак зависит только от постоянных коэффициентов, т.е. от параметров отдельных звеньев и системы в целом.

Определив корни, можно получить общее решение дифференциального уравнения в следующем виде:

постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий,

корни характеристического уравнения.

1) Характеристическое уравнение имеет только вещественные и неравные корни.

Если корни вещественные, то каждая составляющая представляет собой экспоненту, вид которой зависти от знака корня .

Если корни отрицательны, то все экспоненты с течением времени стремится к нулю. Система будет устойчивая, а переходный процесс будет апериодическим.

Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один положительный корень , то весь процесс будет стремиться к бесконечности, и система будет неустойчива. Переходный процесс будет апериодически неустойчивым.

2) Характеристическое уравнение имеет часть комплексных корней.

вещественная часть;

мнимая часть.

В этом случае переходный процесс будет колебательным.

Характер колебаний определяется амплитудой, , которая зависит от вещественной части .

Если вещественная часть отрицательна, то амплитуда с течением времени уменьшается и колебания затухают. Система будет устойчива.

Если вещественная часть комплексных корней положительна, то амплитуда колебаний непрерывно возрастает, стремиться к бесконечности. Система будет неустойчива.

3) Характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней , остальные корни вещественные и отрицательные.

Система будет совершать незатухающие гармонические колебания. Система находится на границе устойчивости.

4) Характеристическое уравнение имеет один нулевой корень , остальные корни вещественные и отрицательные.

В этом случае решение дифференциального уравнения имеет вид:

слагаемое, соответствующее

Если все корни отрицательные, то второе слагаемое стремится к нулю, а переходный процесс . Значение зависит от начальных условий (от возмущений), т.е. система будет иметь бесчисленное множество устойчивых положений, будет нейтрально – устойчивой и непригодна.

Вывод: Для устойчивости системы необходимо, чтобы все вещественные корни были отрицательны, комплексные корни имели отрицательную вещественную часть.

Дата добавления: 2014-12-08