Відношення переваги

Моделювання поведінки споживача

1. Відношення переваги.

2. Функція корисності.

3. Неокласична задача споживача.

Основний зміст економічної науки складають питання раціонального (або оптимального) ведення господарства на різних рівнях: від найдрібнішої одиниці господарської структури (окремого індивідуума чи родини) до всієї економіки країни в цілому.

Одним із головних завдань людства завжди був найбільш раціональний розподіл доступних йому ресурсів для задоволення своїх потреб. Так і для будь-якої господарської одиниці основне завдання — оптимальний (найбільш вигідний) розподіл обмежених ресурсів для досягнення поставлених цілей. У зв¢язку із цим, завдання раціонального ведення господарства з математичної точки зору може бути подане як деяка задача оптимізації: знайти такі значення деяких змінних (неявних обмежених ресурсів), які максимізують (або мінімізують) деяку функцію (математичний ідентифікатор поставленої мети).

Залежно від досліджуваного завдання раціонального ведення господарства будь-яка господарська одиниця може виступати в тій чи іншій ролі. Таким чином, залежно від поставлених завдань уся економіка будь-якої країни складається з безлічі організацій (економічні інститути, учасники економіки). Як правило, виділяють чотири учасники економіки: споживачі, виробники (фірми), професійні спілки й урядові організації.

Під споживачами (домашні господарства) будемо розуміти окремих осіб або групи осіб, об¢єднані єдиним доходом і єдиною метою: раціональний розподіл наявного доходу на споживання. Найпростішим прикладом споживача може слугувати окрема сім¢я. У більш широкому розумінні в якості споживача розглядають і економічну одиницю, що виготовляє певну продукцію та розв¢язує завдання раціонального розподілу доступних їй ресурсів при наявності обмеженої кількості грошових засобів для сплати за ресурси.

Поряд із поняттям споживача первинним об¢єктом економіки є товар, за відсутності якого дії учасників економіки втрачають сенс. Під товаром в економічній теорії розуміють благо чи послугу, які призначені для продажу.

Отже, одним із найбільш типових учасників економіки є споживач, основне завдання котрого в економічній системі — за неявного обмеженого доходу досягти максимальної для себе користі при купівлі товарів та послуг за заданих на них цін.

Виходячи з основного завдання теорії споживання, в математичній моделі поведінка споживача пов¢язана з вибором набору товарів із певної доступної йому множини товарів, що би був максимально корисним для споживача. Нехай n — скінченна кількість різноманітних товарів. Позначимо X_i — кількість i -го товару, придбаного споживачем, а через x = (x₁, x₂, …x_n) набір придбаних споживачем товарів. Отже, набір x = (x₁, x₂, …x_n) являє собою точку n -вимірного евклідового простору Rⁿ. З економічної точки зору x_i ³ 0 (x_i > 0, якщо товар закуповується і x_i = 0 в протилежному випадку). Таким чином, простір товарів (commodity space, consumption set) у математичній моделі теорії споживання є невід¢ємним квадрантом n -вимірного евклідового простору

.

Нехай — деяка множина з простору товарів, доступна для споживача. Будемо вважати, що X — опукла множина, на якій визначені інтереси споживачів. На даній множині X задане бінарне відношення ý, ~, í, котре називається відношенням переваги. Запис x ý y означає, що з точки зору споживача набір товарів x є привабливішим, ніж y; x í y — набір x є менш привабливим, ніж набір y; x ~ y — для споживача обидва набори еквівалентні.

Відношення переваги має ряд властивостей (у вигляді аксіом).

Аксіома 1 (рефлексивності). x ý x " x Î X.

Аксіома 2 (транзитивності). З умови x ý y, y ýz Þ x ý z " x, y, z Î X.

Аксіома 3 (досконалості). Для будь-якої пари x, y Î X або x ý y, або y ý x, або й перше, й друге. В останньому випадку x ~ y. Для будь-якого xÎ X множина I_x={yÎ X: x ~ y} називається множиною байдужості, а множини P_x={yÎ X: y ý x}, NP_x={yÎ X: x ý y} називають відповідно множиною переваг і непереваг. I_x = P_xÈ NP_x.

Аксіома 4 (неперервності). Для кожного x Î X множини P_x^¢={yÎ X: y ý x} та NP_x^¢={yÎ X: x ý y} (строгої переваги і непереваги) відкриті в X.

Аксіома 5 (ненасичуваності). Для будь-яких двох наборів товарів x, y Î X з умови x³ y випливає x ý y.

Ця аксіома означає, що, якщо в наборі X кількість кожного товару не менша, ніж у наборі Y, причому якщо хоча б одного товару в наборі X більше, ніж у наборі Y, то набір X привабливіший за набір Y.

Знаки =, ³, £ для двох векторів однакової розмірності мають значення покомпонентних співвідношень.

Точкою насичення називають найбільш привабливий набір x Î X, тобто такий, для якого x ³ y " yÎ X. Аксіома 5 стверджує, що точки насичення не існує.

Аксіома 6 (опуклості). Якщо y ý x, то " a Î [0;1] виконується співвідношення a× y+(1- a ) × x ý x.

Переваги споживача можна подати у формі індикатора переваг, тобто такої функції корисності U(x), що з x ý y випливає U(x)>U(y), а з x ~ y випливає U(x)=U(y).

Теорема 1 (теорема Дебре). Якщо множина X зв¢язна без “дір”, а відношення переваги задовольняє аксіоми 1-4, то функція корисності існує. У термінах функції корисності аксіоми 5 та 6 можна переформулювати:

Аксіома 5¢. З умови x ³ y випливає U(x) ³ U(y).

Аксіома 6¢. Для будь-якого aÎ R множина {xÎ X: U(x) ³ a} є опуклою.

Аксіома 6¢ стверджує, що функція корисності U(x)— квазівгнута функція.

Дата добавления: 2014-12-08