Зміна попиту за зміни доходу

Нехай дохід споживання змінюється на dM, тоді попит зміниться так: . Рівняння для , знову отримаємо, диференціюючи за M співвідношення (2) – (3),

(10)

або в матричній формі

Тому

= = = звідки одержимо .

(11)

Об¢єднуючи рівняння (6), (9), (11), отримаємо наступне рівняння Слуцького, яке є основою теорії корисності

.

(12)

Рівняння Слуцького дає можливість класифікувати товари. Товар i називають цінним, якщо зі зростанням доходу попит на нього збільшується >0, малоцінним — якщо . Оскільки, згідно з умовою (10) , то цінні товари обов¢язково існують. Попит на цінний товар спадає за зростання ціни на нього, це безпосередньо випливає з рівняння Слуцького для i -го товару

.

Відповідно до (8) , тому обов¢язково знайдеться такий товар 1, для якого . Тобто зменшення попиту на i -тий товар приводить до зростання попиту на l -й товар. Такі товари називаються взаємозамінюваними. Якщо ж , то товари i -тий та m -й утворюють взаємодоповнювальну пару. Продукт l називається валовим замінником продукту i, якщо .

Економічний зміст рівняння Слуцького: оскільки вивчається зміна попиту за зростання ціни на n -й товар, що не компенсується підвищенням доходу, то друга складова в (10) знімає штучний приріст попиту, викликаний компенсуючим зростанням доходу.

Для того щоб скористатися рівнянням Слуцького, вивчимо властивості матриці: . Ця матриця симетрична, оскільки симетричною є матриця , а остання симетрична внаслідок симетричності матриці U. Матриця H від¢ємно напіввизначена, що означає для будь-якого вектор-рядка z.

Розглянемо випадок, коли , тоді

,

де .

Якщо напрямок z не збігається з напрямком p, тоді z можна подати у вигляді , , де — число, . З урахуванням даного z отримуємо

, а тому , оскільки від¢ємно визначена.

Якщо взяти за z вектор z=(0,..., 1, 0,...,0), тобто вектор-рядок, усі елементи якого, крім i -го, дорівнюють нулю, а i -й елемент дорівнює 1, то , тобто всі діагональні елементи матриці H є від¢ємними. Тому

.

Отже, навіть за компенсованого зростання ціни товару попит на цей товар усе-таки спадає.

Дата добавления: 2014-12-08