Доверительные интервалы прогноза

Вопрос 4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

Заключительным этапом применения кривых роста яв­ляется экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответ­ствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени опреде­ляется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желатель­но определить границы возможного изменения прогнозируемого по­казателя, задать «вилку» возможных значений прогнозируемого пока­зателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2) погрешностью оценивания параметров кривых;

3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблю­дений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, мо­жет быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. До­верительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, опре­деляется в виде:

, (5.26)

где п - длина временного ряда;

L - период упреждения; - точечный прогноз на момент n+L;

t_a - значение t -статистики Стьюдента;

S_p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содер­жат погрешность. Погрешность параметра а₀ приводит к вертикально­му сдвигу прямой, погрешность параметра а₁ изменению угла на­клона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса кон­кретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию S²_p можно представить в виде:

, (5.27)

где: S_y² -дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t_l - время упреждения, для которого делается экстраполяция, t_l = n + L;

t - порядковый номер уровней ряда, t =1, 2,..., п;

- порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда, ;

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

. (5.28)

Обозначим корень в выражении (5.28) через К. Значение К за­висит только от п и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t_aK. Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

. (5.29)

Выражение, аналогичное (5.28), можно получить для полинома второго порядка:

(5.30)

или

. (5.31)

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

, (5.32)

где: y_t - фактические значения уровней ряда,

-расчетные значения уровней ряда,

п - длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома. Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интер­вал при одном и том же значении S_y, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствую­щих параметров уравнения.

Рис. 5.4. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использо­ванием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. От­личие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные ин­тервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значе­ние асимптоты известно (например, для модифицированной экспонен­ты).

В таблице 5.4 приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда п и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (п) значения К* умень­шаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений п: чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.

Таблица 5.4

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7)

Длина ряда (п)	Линейный тренд	длина ряда (п)	Параболический тренд
период упреждения (L) 1 2 3	период упреждения (L) 1 2 3
	2,6380 2,8748 3,1399		3,948 5,755 8,152
	2,4631 2,6391 2,8361		3,459 4,754 6,461
	2,3422 2,4786 2,6310		3,144 4,124 5,408
	2,2524 2,3614 2,4827		2,926 3,695 4,698
	2,1827 2,2718 2,3706		2,763 3,384 4,189
	2,1274 2,2017 2,2836		2,636 3,148 3,808
	2,0837 2,1463 2,2155		2,536 2,965 3,516
	2,0462 2,1000 2,1590		2,455 2,830 3,286
	2,0153 2,0621 2,1131		2,386 2,701 3,100
	1,9883 2,0292 2,0735		2,330 2,604 2,950
	1,9654 2,0015 2,0406		2,280 2,521 2,823
	1,9455 1,9776 2,0124		2,238 2,451 2,717
	1,9280 1,9568 1,9877		2,201 2,391 2,627
	1,9117 3,9375 1,9654		2,169 2,339 2,549
	1,8975 1,9210 1,9461		2,139 2,293 2,481
	1,8854 1,9066 1,9294		2,113 2,252 2,422
	1,8738 1,8932 1,9140		2,090 2,217 2,371
	1,8631 1,8808 1,8998		2,069 2,185 2,325
	1,8538 1,8701 1,8876		2,049 2,156 2,284

Дата добавления: 2014-12-08