Примеры решения задач. Молекулярная физика и термодинамика

Молекулярная физика и термодинамика

1. Физические основы молекулярно-кинетической теории. Понятие идеального газа. Уравнение состояния идеального газа. Универсальная газовая постоянная. Смеси газов. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Средняя энергия молекулы. Молекулярно-кинетическое толкование температуры. Абсолютная температура.

2. Максвелловское распределение молекул по скоростям. Барометрическая формула. Больцмановское распределение частиц в потенциальном поле.

3. Эффективный радиус молекулы. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул. Явления переноса в газах: диффузия, теплопроводность и внутреннее трение.

4. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия системы как функция состояния. Количество теплоты. Эквивалентность теплоты и работы. Способы передачи теплоты. Первое начато термодинамики и его применение к различным изопроцессам. Работа, совершаемая газом в изопроцессах. Адиабатический процесс.

5. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы. Внутренняя энергия идеального газа. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости газов.

6. Второе начало термодинамики. Круговые, необратимые и обратимые процессы. Принцип действия тепловой и холодильной машин. Идеальная тепловая машина Карно и ее коэффициент полезного действия. Абсолютная шкала температур. Энтропия. Второе начало термодинамики и его статистический смысл.

7. Поверхностный слой жидкости. Удельная поверхностная энергия (поверхностное натяжение). Явление смачивания. Формула Лапласа. Капиллярные явления.

МЕХАНИКА

Пример 1 Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону, выраженному формулой . Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии 0,1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c. Какой угол составляет вектор полного ускорения с вектором скорости в этот момент времени? Сколько оборотов сделает тело до полной остановки?

Решение.

Полное ускорение точки, движущейся по кривой, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории:

.

Модуль полного ускорения определяется по формуле:

. (1)

Тангенциальное и нормальное ускорения точки выражаются формулами:

(2)

(3)

где u - линейная скорость точки; e - угловое ускорение; w - угловая скорость.

Подставляя (2) и (3) в формулу (1), получаем:

.

Угловая скорость w вращения равна первой производной от угла поворота по времени:

.

В момент времени t = 4 c угловая скорость w =( 20 - 4×4) = 4 с^-1.

Угловое ускорение e вращения равно первой производной от угловой скорости по времени:

.

Тогда значение полного ускорения равно:

Так как угловое ускорение e <0, то движение точки – равнозамедленное, вектор полного ускорения направлен против вектора скорости.

Из рисунка видно, что

.

Отсюда следует, что угол a = 76⁰, тогда между векторами полного ускорения и скорости угол составит (180-a) = 104⁰.

Время до остановки найдем из выражения:

.

Угол поворота при этом составит:

.

Так как один оборот соответствует углу 2p, то число оборотов, сделанных до остановки равно:

.

Ответ: 1,65 м/с²; 104⁰; 9,6.

Пример 2 Молот массой m₁ =200 кг падает на поковку, масса m₂ которой вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость u₁ молота в момент удара равна 2 м/с. Найти: кинетическую энергию молота в момент удара; энергию, переданную фундаменту; энергию, затраченную на деформацию поковки; КПД удара молота о поковку. Удар считать абсолютно неупругим.

Решение.

Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле:

.

Запишем закон сохранения импульса при неупругом ударе:

,

где u₂ – скорость поковки перед ударом, u - скорость молота и поковки после удара. Так как наковальня с поковкой покоились, то u₂=0. Следовательно,

.

Энергия, переданная фундаменту, равна кинетической энергии системы после удара:

.

На деформацию поковки идет разность кинетических энергий:

Т = Т₁ - Т₂ = 370 Дж.

КПД удара равно отношению энергии, потраченной на деформацию поковки, к первоначальной энергии, т.е.

.

Ответ: 400 Дж; 29,6 Дж; 370 Дж; 92,6%.

Пример 3 Два шара массами m₁ = 10 кг и m₂ = 15 кг подвешены на нитях длиной L = 1 м так, что шары соприкасаются между собой. Меньший шар был отклонен на угол j = 30° и выпущен. Определить высоту h, на которую поднимется большой шар после удара. Удар шаров считать упругим.

Решение.

Если положение равновесия шаров принять за нулевой уровень потенциальной энергии, то при отклонении шара на угол j его потенциальная энергия повышается и становится равной:

.

При движении обратно эта энергия превращается в кинетическую энергию Т ₁:

.

Отсюда можно найти скорость малого шара в момент удара:

. (1)

По закону сохранения импульса в случае упругого удара можем записать:

, (2)

где u₁ и u₂ - скорости шаров после упругого удара.

По закону сохранения энергии:

. (3)

Перепишем уравнения (2) и (3) в виде:

, (2¢)

. (3¢)

Деля равенство (3¢) на (2¢), получаем:

. (4)

Так как большой шар первоначально покоился, то u₂ = 0. Выражая u₁ из (4) и подставляя в (2), получаем:

. (5)

Большой шар приобретает в результате удара кинетическую энергию:

.

При отклонении шара эта энергия полностью превращается в потенциальную энергию П₂:

.

Отсюда следует, что

.

С учетом выражения (1) получаем в итоге:

.

.

Ответ: 8,6 см.

Пример 4 Вычислить работу сил гравитационного поля Земли при перемещении тела массой 1 кг из точки 1 в точку 2 (см. рис). Радиус Земли считать равным 6400 км, ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли принять равным 9,8 м/с². Каково ускорение свободного падения в этих точках?

Решение.

Гравитационные силы являются консервативными (работа по замкнутому контуру гравитационных сил равна нулю), поэтому они совершают работу за счет убыли потенциальной энергии:

А₁₂ = -DП = П₁ - П₂,

где П₁ и П₂ - потенциальные энергии системы «Земля – тело» в начальном и конечном состоянии.

Принимая потенциальную энергию равной нулю на бесконечно большом удалении от Земли, можем записать для тела на расстоянии r от центра Земли:

.

Здесь G = 6,67×10^-11 Н×м²/кг² – гравитационная постоянная, М – масса Земли.

Из рисунка видно, что r₁ = 3R, r₂ = 2R.

Тогда получаем (с учетом того, что на поверхности Земли ):

.

Ускорение свободного падения меняется за пределами Земли по закону (r - расстояние от центра Земли):

.

Таким образом, .

Ответ: 10,5 МДж; .

Пример 5 Стержень длиной = 1,5 м и массой М = 10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верхний конец стержня (см. рис). В середину стержня попадает пуля массой m = 10 г, летящая горизонтально со скоростью u₀ = 500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол j отклонится стержень после удара?

Решение.

В момент удара момент сил тяжести, действующих на пулю и стержень, был равен нулю, так как линия действия силы проходила через ось вращения. Считая удар пули о стержень неупругим, применим закон сохранения момента импульса:

,

где - начальный момент импульса стержня;

- начальный момент импульса пули;

- момент импульса стержня после удара пули;

-конечный момент импульса пули.

Тогда получаем , откуда выражаем угловую скорость, приобретенную стержнем:

.

После удара пули стержень с пулей приобретает кинетическую энергию , за счет которой центр масс стержня поднимается при отклонении на высоту h, приобретая потенциальную энергию П:

.

По закону сохранения энергии:

.

Отсюда следует, что

.

Ответ: 9⁰.

Пример 6 В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

Решение.

Движение жидкости, вызванное падением шарика, является ламинарным или турбулентным в зависимости от числа Рейнольдса, определяемого, в случае движения шара, формулой:

. (1)

Критическое значение числа Рейнольдса Re_кр = 0,5.

На шарик, падающий в глицерине, действуют силы:

1) сила тяжести

;

2) выталкивающая сила

;

3) сила внутреннего трения

,

где r_св – плотность свинца, r_гл – плотность глицерина.

При установившемся движении (u = const), силы должны уравновешиваться, поэтому можно записать второй закон Ньютона в виде:

.

Отсюда следует, что

. (2)

Выражая u из уравнения (1), получим критические значения диаметра шарика:

.

Подставляя значения, получаем:

Ответ: 5,42 мм.

Пример 7 Диск вращается относительно оси, проходящей через его центр, ось диска перпендикулярна его плоскости. На диск действует вращающий момент, изменяющийся по закону М=0,5×t² (Н×м). Масса диска 10 кг, его радиус 1 м, w₀ =0. Определить: момент импульса диска относительно оси, проходящей через центр диска, в момент времени t = 3с; кинетическую энергию диска в момент времени t = 3с; угловой путь, пройденный за время от t₁ =0 до t₂ = 4c; число оборотов, сделанное диском за это время.

Решение.

На основании основного уравнения динамики вращательного движения

.

Тогда

.

В момент времени t = 3 c получаем

.

Кинетическая энергия диска

,

где - момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр тяжести; w - угловая скорость вращения.

С учетом того, что , получаем:

.

Угловой путь

.

Угол поворота связан с числом оборотов соотношением

.

Ответ: 4,5 кг×м²/с; 2 Дж; 2,1 рад; 0,3 об.

Пример 8 На однородный сплошной цилиндр массой m₁ = 1 кг и радиусом R =0,1 м, ось которого расположена горизонтально, намотана невесомая нерастяжимая нить, на которой подвешен груз массой m₂ = 0,2 кг. В момент времени t =0 система приходит в движение. Определить время, за которое тело m₂ пройдет по вертикали вниз расстояние h = 2 м.

Решение.

Тело m₂ движетсяпоступательно. Запишем для него второй закон Ньютона:

, (1)

где - сила натяжения нити.

Выбрав направление оси ОХ вертикально вниз, и спроецировав на нее уравнение (1), получим:

. (2)

Цилиндр вращается вокруг своей оси. Запишем для него основное уравнение вращательного движения в проекции на ось вращения:

Je = M, (3)

где J – момент инерции цилиндра; e - угловое ускорение цилиндра; М - суммарный механический вращающий момент сил.

Вращающий момент создается силой натяжения, поэтому

. (4)

Для цилиндра момент инерции определяется выражением

. (5)

Связь между тангенциальным линейным ускорением и угловым ускорением имеет вид

. (6)

Так как нить невесома, сила натяжения Т, действующая в точке крепления нити к телу m₂ и в точке касания нитью цилиндра равны по величине.

Так как нить нерастяжимая, линейное ускорение точки крепления нити к телу m₂ и тангенциальное ускорение нити в точке ее касания цилиндра также равны по величине, т.е. .

Тогда получим

.

После преобразований получим

. (7)

Подставим Т из (7) в выражение (2) и получим выражение для ускорения

.

Ускорение тела m₂ остается постоянным,т.е. движение тела m₂ является равноускоренным.

Используя формулы кинематики, запишем перемещение тела по оси ОХ:

.

Отсюда получаем

.

Подставим числовые значения

.

Ответ: 1,18 с.

Пример 9 Материальная точка с массой 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом 2 с. Полная энергия колеблющейся точки равна 10^-4 Дж. Найти амплитуду колебаний; написать уравнение колебаний; найти наибольшее значение силы, действующей на точку.

Решение.

Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде:

.

Скорость колеблющейся точки есть первая производная смещения по времени, т.е.

.

Кинетическая энергия точки

.

Полная энергия колеблющейся точки равна максимальному значению кинетической энергии:

.

Отсюда выражаем амплитуду колебаний и с учетом того, что , получаем:

.

Тогда уравнение колебаний перепишется в виде

.

Принимая начальную фазу колебаний j₀ = 0, окончательно получим:

.

Ускорение точки есть производная скорости по времени:

.

Отсюда максимальное ускорение

.

Тогда максимальная сила будет вычисляться по формуле:

.

Ответ: 0,045м; ; 4,5 мН.

Пример 10 Физический маятник представляет собой стержень длиной =50 см и массой m = 270 г с прикрепленным к одному из его концов диском радиусом R = 10 см и массой M = 500 г. Определить момент инерции маятника; расстояние от центра масс до точки подвеса; период малых колебаний маятника.

Решение.

Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J_ст и диска J_д. Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец определяется по формуле

.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через точку подвеса, определяется по теореме Штейнера

,

где - момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр; - расстояние от центра диска до точки подвеса.

В итоге получаем:

.

Подставляя числовые значения, получим:

.

Положение центра масс системы найдем по формуле:

.

Таким образом, расстояние L от центра масс до точки подвеса равно 0,477 м.

Период малых колебаний физического маятника определяется выражением

.

Подставляя найденные выше значения, получим:

.

Ответ: 0,205 кг×м²; 0,477м; 1,5 с.

Пример 11 Складываются два колебания одинакового направления, выражаемые уравнениями и . Найти амплитуду А и начальную фазу j результирующего колебания, написать уравнение результирующего колебания.

Решение.

Анализируя уравнения колебаний, можно отметить, что амплитуды колебаний А₁ = 1 см, А₂ = 2 см, частота колебаний w = p с^-1, начальные фазы колебаний j₁ = p/6, j₂ = p/2.

Для определение амплитуды А и начальной фазы j результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой (см. рис).

Согласно теореме косинусов, получаем:

;

.

Начальную фазу j результирующего колебания найдем по формуле:

.

Отсюда получаем:

.

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид:

.

Ответ: ; ; .

Пример 12 Уравнение затухающего колебания системы имеет вид: м. Масса системы 0,5 кг. Определить собственную частоту колебаний, коэффициент затуханий, коэффициент сопротивления, логарифмический декремент. Подсчитать амплитуду колебании в момент времени t = 20 с.

Решение.

Анализируя уравнение колебаний, можно отметить, что амплитуда колебаний А₀ в момент времени t = 0 равна 0,3 м, частота колебаний w = p с^-1, коэффициент затуханий b = 0,002 с^-1.

По этим данным определим собственную частоту колебаний w₀:

.

Коэффициент сопротивления найдем через коэффициент затуханий:

.

Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону:

.

При t = 20 с амплитуда затухающих колебаний будет равна:

.

Логарифмический декремент затуханий найдем по формуле:

Подставляя числовые значения, получаем:

.

Ответ: p с^-1; 0,002 с^-1; 0,002 кг/с; 0,004; 0,288 м.

Пример 13 Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Колебания источника задаются уравнением . Определить длину волны; смещение и скорость точки, отстоящей от источника волн на расстоянии х = 45 м, в момент времени t = 5 c; разность фаз колебаний двух точек, отстоящих от источника волн на расстоянии х₁ = 15 м и х₂ = 25 м.

Решение.

Запишем уравнении волны в общем виде:

.

Амплитуда колебаний точек волны равна амплитуде колебаний источника, т.е. м. То же самое можем сказать и про частоту колебаний, т.е. w = 10² с^-1.

В итоге получаем:

.

Смещение в точке х = 45 м в момент времени t = 5 c будет равно:

.

Скорость точки найдем, взяв первую производную от смещения по времени:

.

Скорость в точке х = 45 м в момент времени t = 5 c будет равна:

.

Длину волны l найдем по формуле

.

Разность фаз колебаний двух точек связана с расстоянием между ними:

.

Ответ: 0,94 м; 0,574 мм; 8,2 см/с; 1,28p рад.

Дата добавления: 2014-12-08