Москва-2006

Математика

Методические указания по выполнению

контрольных заданий № 1-4

для студентов-заочников 1 курса

инженерно-технических специальностей

Автор – Доктор физико–математических наук доцент Блистанова Л.Д.

Рецензент – Доктор физико-математических наук профессор Карпухин В.Б.

Предисловие

Методические указания предназначено для студентов I курса инженерно- технических специальностей, включая и специальность ЭВМ. Для решения каждой задачи контрольных заданий приведены необходимые теоретические сведения и дано типовое решение в соответствующем разделе пособия.

В соответствии с требованиями дистанционного обучения в каждом разделе приведён список вопросов и задач на данную тему для самостоятельной работы.

В конце методических указаниях приведены ответы, краткие или подробные указания по решению задач. Для более тщательного и глубокого изучения теоретического материала и развития навыков по решению задач в пособии разработан предметный указатель и список рекомендуемой литературы. Методические указания соответствуют контрольным заданиям для студентов- заочников I курса инженерно- технических специальностей: Задания на контрольные работы №1-4 (шифры 3/1/1, 3/2/1 и 3/2/5)

ЗАДАНИЕ №1.

Для решения контрольной работы №1 по математике и контрольной работы №1 по курсу алгебра и геометрия следует изучить разделы векторной алгебры, линейной алгебры и аналитической геометрии любых учебников. Для решения задач первой контрольной понадобятся следующие понятия и факты:

Для решения первой задачи:

Определители 2 и 3 порядков

-определитель 2 -го порядка

Заметим, что у элемента определителя -номер строки, а -номер столбца

-

- определитель 3 порядка

Векторы и действия над ними.

В декартовой прямоугольной системе координат вектор (или ) имеющий начало в точке А(3,4,0) и конец в точке В(5,7,5) имеет следующие координаты

(5-3; 7-4;5-0) или (2,3,5)

Векторы можно складывать и если = + , где (2,3,5) а (4,5,6) то (2+4;3+5;5+6) = (6,8,11)

Можно умножить вектор на число, например если (2,3,5) умножить на (-2) получим вектор - 2 (-4,-6,-10)

Длина (модуль) вектора обозначается и считается по формуле

=

для (2,3,5)

| |=

Итак, мы имеем заданную в пространстве декартову прямоугольную систему координат , , - единичные векторы (орты) положительных направлений осей И когда мы пишем, что (2,3,5) это означает, что =

Тройку векторов называют ортонормированным координатным базисом.

2,3,5 - координаты вектора , а

2 , 3 , 5 - компоненты вектора .

Пусть имеем два вектора (2,3,5) и (6,8,11).

Скалярным произведением вектора навектор называется число (, ) = , где угол между и .

В координатной форме

(, ) = - т.е. сумме произведений одноимённых координат

=

Скалярное произведение можно использовать, чтобы найти длину вектора.

Скалярный квадрат

=

таким образом

= =

С помощью скалярного произведения можно найти угол между двумя векторами

= , значит

=

Векторным произведением на называется вектор, обозначаемый или

и такой, что:

1) длина |[a, b]| = |a|·|b|·sin –т.е. численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и

2) перпендикулярен плоскости векторов и

3) вектора , , и составляют правую тройку, т.е. расположены как большой, указательный и средний палец правой руки.

Координатная форма векторного произведения

или (-7,8,-2)

Смешанное произведение трех векторов , и обозначается и равно , то есть векторной произведение на скалярно умножено на (значит, это число- скаляр)

Численно модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Координатная форма смешанного произведения

Поскольку в случае компланарности векторов объем соответствующего параллелепипеда равен нулю, то условием компланарности является равенство нулю их смешанного произведения

Плоскость и прямая в пространстве.

Рассмотрим произвольную плоскость и на ней вектор-нормаль , то есть вектор, перпендикулярный плоскости и фиксированную точку .Возьмем текущую точку ,координаты которой меняются так, что точка остается в плоскости, таким образом вектор также всегда, при любых движениях точки лежит в плоскости.

Итак, вектор лежит в плоскости, а вектор ей перпендикулярен. Тогда их скалярное произведение равно нулю:

, или , где

Это общее уравнение плоскости.

Если , то разделив все члены уравнения на получим уравнение плоскости в отрезках

.

абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями

Рассмотрим три заданные точки в пространстве , и .

Как известно, три точки определяют плоскость. Введём текущую точку , координаты которой меняются, но она не выходит за рамки плоскости. Рассмотри три вектора Все они лежат в плоскости , то есть они компланарны и их смешанное произведение равно нулю.

Это уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Рассмотрим в пространстве прямую. Её можно задать, задав фиксированную точку, через которую она проходит и задав её направление при помощи вектора.

Итак, напишем уравнение прямой, проходящей через заданную точку и параллельной направляющему вектору . Опять возьмем текущую точку на прямой, т.е. точку, координаты которой меняются так, чтобы она не вышла за пределы этой прямой . Вектор лежит на прямой и, значит, коллинеарен вектору .

Если вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

- это и есть канонические уравнения прямой в пространстве.

Обозначим отношение

за

Это параметрические уравнения прямой.

Более подробно этот материал можно найти в , главы 1 и 2; в §1,2,5,6,9,10,12,13; в главы 1,2,3 можно найти похожие задачи.

Пример 1. Задана пирамида с вершинами , , , .

Зная координаты начала и конца вектора , мы можем найти его координаты:

или

Аналогично найдем

1. Теперь найдем угол между ребром и гранью .

Вообще говоря, найти угол между прямой и плоскостью, а угол как раз и является углом между прямой и плоскостью ,- это угол между прямой и её проекцией на плоскость- задача непростая. Угол найти проще, а ведь в сумме они составляют .

Значит, найдя , найдем и = - .

Итак, ищем : это угол между вектором-нормалью к плоскости и вектором .

Отыщем сначала . Какой вектор мы можем выбрать в качестве перпендикуляра к плоскости ? Векторное произведение любых двух векторов, лежащих в плоскости, перпендикулярно плоскости. Возьмем векторное произведение .

= =

=

Нас интересует угол между = и .

Скалярное произведение

следовательно

Если , то

- угол между ребром пирамиды и гранью.

2. Найдем площадь грани .

Площадь грани- это площадь треугольника и половина площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Но мы знаем из определения векторного произведения, что длина вектора = численно равна площади этого параллелограмма. Длину вектора мы считали в пункте 1 и она равна .

Итак площадь грани =

3. Найдем объем пирамиды;

Объем пирамиды равен =

Если отбросить коэффициент , то получим = -объем призмы, в основании которой лежит , т.е. объем пирамиды равен объема призмы .

А объем параллелепипеда, основанием которого является параллелограмм в 2 раза больше объема призмы следовательно, объём пирамиды - это объема параллелепипеда.

Но объем данного параллелепипеда численно равен модулю смешанного произведения векторов, на которых построен параллелепипед

4. Найдем уравнения прямой - это уравнения прямой, проходящей через заданную точку в направлении, заданном вектором . Итак, пишем уравнение прямой, проходящей через точку А₁ (1,2,3) в направлении вектора

5. Уравнение плоскости :

У нас имеется три точки, лежащие в интересующей нас плоскости, значит используем уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:

или

Раскладываем определитель по первой строке

6. Находим уравнения высоты, опущенной из вершины на грань .

Раз эта прямая-высота – она перпендикулярна плоскости , значит в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , перпендикулярный .

Высота опущена из вершины - значит искомая прямая проходит через точку .

Итак, пишем уравнения прямой, проходящей через заданную точку (3,4,8) в направлении заданного вектора (-6,2,6).

или

Наконец, найдем координаты точки пересечения высоты с нижней гранью.

То есть точку пересечения прямой и плоскости

Перейдем к параметрическому виду уравнений прямой:

и подставим и в уравнение плоскости:

Итак, высота пирамиды пересекается с нижней гранью в точке .

Дата добавления: 2014-12-10