П.6.3.1.Сумма событий. Теорема сложения вероятностей

Основные теоремы теории вероятностей

Примеры для самостоятельного решения

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

2. В партии из 50 деталей 5 нестандартных. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки шести деталей: а) все стандартные, б) две нестандартные, в) хотя бы одна нестандартная.

3. Какова вероятность того, что точка, наудачу поставленная в данном круге, окажется внутри вписанного в него квадрата?

Ответы: 1. ; 2. а) ; б) ; в) ; 3. .

Часто при вычислении вероятности события бывает удобно представить его в виде комбинации более простых событий.

Определение.Суммой или объединением событий А и В называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Обозначение суммы:

А+В или А В.

Пример. Если попадание в цель при первом выстреле есть событие А, а В – попадание при втором выстреле, то хотя бы одно попадание в цель при двух выстрелах есть сумма данных событий А+В.

Если ответ на первый вопрос из билета на экзамене есть событие А, а В – ответ на второй теоретический вопрос, то ответ на хотя бы один вопрос билета из двух есть сумма данных событий А+В.

Теорема (сложения вероятностей) Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Данная теорема справедлива для любого конечного числа событий.

Как сказано выше, событие называется противоположным событию А, если оно состоит в том, что событие А не происходит. Противоположные события всегда несовместны и в сумме дают достоверное событие. Вероятность достоверного события равна единице. Легко видеть, что

Р(А+ )=Р(А)+Р()=1 (4)

Пример. В лотерее 1000 билетов. На 20 из них падает вещевой выигрыш, на 10 – денежный. Найти вероятность выигрыша на один купленный билет.

Решение: Пусть событие А состоит в том, что на купленный билет выпадет вещевой выигрыш, событие В – денежный. Тогда А+В – купленный билет окажется выигрышным. События А и В несовместны, поэтому можно применить теорему 1 для вычисления искомой вероятности:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=20/1000+10/1000=30/1000= 0,03.

Пример. В лотерее 1000 билетов. На 40 из них падает выигрыш. Найти вероятность покупки невыигрышного билета.

Решение: Пусть событие А состоит в том, что на купленный билет выпадет выигрыш, тогда событие не выпадает выигрыш. События А и несовместны и противоположны, поэтому можно применить теорему 1 для вычисления искомой вероятности:

Р(А+ )=Р(А)+Р()=1; Р() = 1 - Р(А); Р(А) = 40/1000 = 0,004;

Р() = 1 – 0,004 = 0,996

Теорема сложения вероятностей для совместных событий будет рассмотрена ниже.

Дата добавления: 2014-12-10