Задачи математической статистики

· В статистике по заданным вероятностям и функциям распределения независимых параметров определяются вероятности и функции распределения зависимых, характеризующих процесс. Но, спрашивается, откуда известны эти исходные вероятности и функции распределения? Одних априорных суждений для этого недостаточно, необходимо прибегать к опыту, к проведению специальных испытаний. Обычная схема таких испытаний состоит в следующем. Предполагается, что результаты испытаний независимы друг от друга. И центральным здесь являются предельные теоремы. На основании их мы можем определить на выборке экспериментальных данных вероятностные характеристики случайных параметров, их математическое ожидание, дисперсию и закон распределения.

· Очень важный и интересный вопрос касается числа наблюдений, которые необходимы для того, чтобы оценка вероятности интересующего нас события, как правило, была достаточно близкой к истинному ее значению. Этот вопрос обычно воз­никает и в других постановках статистических задач.

От числа испытаний зависит точность модели. Теория вероятностей позволяет нам оценить эту точность. Относительная величина ошибки приблизительно обратно пропорциональна квадратному корню из числа испытаний. Иными словами, если мы получили N реализаций модели для определения интересующей нас величины Х, то последняя будет получена с ошибкой Dх, наиболее вероятное значение которой определяется из приближенного соотношения

.

Мы можем определить число испытаний, для получения ответа с заданной точностью.

.

· Большая и важная группа вопросов связана с управлением процессами. Рассмотрим конкретную задачу. Пусть имеется определенный технологический процесс, например, металлообработки. Станок, хорошо отлаженный в начале работы, со временем теряет настройку, а вместе с тем и качество обработки; режущий инструмент затупляется и появляется большая вероятность изготовления бракованных изделий. Наша задача угадать тот момент, когда следует остановить станок, произвести наладку или сменить инструмент. В наших руках имеется лишь единственный способ вынесения суждений — наблюдения над качеством изготовленной продукции. Если мы станем производить переналадку и смену инструмента слишком часто, то тем самым значительно сократим рабочий период станка и завысим потребность в режущем инструменте. Если же мы станем допускать систематические опоздания в остановке станка для переналадки, то появляется большая вероятность производства бракованной продукции. Подобных постановок достаточно, и в статистике появились специальные разделы, посвященные их решению.

· Четвертая группа задач связана с установлением статистических зависимостей между зависимыми и независимыми параметрами. Речь идет о корреляции.

Например, известно, что в медицинской диагностике симптомы заболевания, как правило, не бывают абсолютными. Иными словами, симптом может быть налицо, а у больного иное заболевание, так же как может быть заболевание, но не быть характерного для него симптома. Можно говорить лишь о вероятности наличия симптома при данном заболевании или о наличии заболевания при появлении определенного симптома. Представляет серьезный практический интерес установление силы связей между симптомом и заболеванием.

Нередко нам нужно выяснить и иные вопросы. Так, часто приходится решать задачу, связанную с влиянием на урожайность количества удобрений, качества обработки почвы, а также иных агротехнических мероприятий. Как правило, при этом невозможно получить абсолютно однозначный ответ. Бывает, что в результате полезных мер урожайность или остается на прежнем уровне, или даже несколько снижается, но из-за ряда неучтенных иных причин. При большом же числе опытов удается установить заметную тенденцию к увеличению урожайности или большей устойчивости к неблагоприятным погодным условиям и др.

Дата добавления: 2014-12-16