Краткие теоретические сведения. Элементы теории вероятностей

Вопросы

Элементы теории вероятностей

Примеры для самостоятельного решения

Найдите решение дифференциального уравнения

1. ;

2. ;

3. .

4. Найдите частное решение уравнения

, если .

ЗАНЯТИЕ 8 (4 часа)

Цель занятия: Проработать на задачах основные понятия и теоремы, изучить приемы подсчета вероятностей.

1. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

При классическом определении за вероятность события А, принимается отношение числа т исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу n равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов испытания

.

При непосредственном вычислении вероятностей часто используются формулы комбинаторики.

Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их следования. Число возможных перестановок

, где .

Примеры.

.

Размещениями называются комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов и отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком.

Число возможных размещений

.

Примеры.

.

Сочетаниями называются комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний

.

Примеры.

.

Суммой событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В. Обозначение: .

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А и события В. Обозначение: .

Теорема сложения: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема умножения: 1)Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

2) Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую вероятность события А:

.

Это равенство называют формулой полной вероятности.

Для определения вероятности события при условии, что событие А уже произошло, используется формула Байеса:

.

Дата добавления: 2014-12-16