Основные понятия систем линейных уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Здесь a_ij – числовые коэффициенты; b_i (i =1,2,..., m) – свободные члены; x_j (j =1,2,..., n) – неизвестные.

Решением системы (1) является совокупность значений неизвестных x_j, при подстановке которых все уравнения системы (1) обращаются в тождества.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система является несовместной.

Система (1) может быть представлена в виде матричного уравнения

AX = B,

где A – матрица, составленная из коэффициентов a_ij при неизвестных; матрица B представляет собой столбец свободных членов b_i (i =1,2,..., m); элементами матрицы X являются неизвестные x_j (j =1,2,..., n).

Если B = 0, то система уравнений называется однородной:

AX = 0.

Две системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений, называются эквивалентными.
Очевидно, что такие операции как перестановка уравнений местами, умножение обеих частей уравнения на ненулевое число или прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число, преобразуют систему уравнений в ей эквивалентную.

Система, имеющая решения, называется совместной, не имеющая - не совместной. Если решение одно - система определённая, если не одно - неопределённая.

Дата добавления: 2014-12-16