Однородные системы линейных уравнений

Однородная система линейных уравнений имеет вид

,

(1)

где A – матрица коэффициентов; X – матрица-столбец, составленная из неизвестных.

Очевидно, что любая однородная система имеет нулевое решение , которое называется тривиальным решением.

Теорема. Если и являются решениями однородной системы (1), то и их линейная комбинация

является решением этой системы.

Доказательство. По условию теоремы AХ ₁=0 и AХ ₂=0.

Тогда для любых чисел С ₁ и С ₂: С ₁ AХ ₁=0 Þ AС ₁ Х ₁=0 и С ₂ AХ ₂=0Þ AС ₂ Х ₂=0. Складывая эти выражения, получаем A (С ₁ Х ₁+ С ₂ Х ₂)= AС ₁ Х ₁+ AС ₂ Х ₂= С ₁ AХ ₁+ С ₂ AХ ₂=0. Следовательно, линейная комбинация С ₁ Х ₁+ С ₂ Х ₂ решений однородной системы линейных уравнений также является решением этой системы.

Примеры:

1. Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду: Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4. Поэтому одну из неизвестных, например, следует рассматривать как свободный параметр. Далее нужно присвоить этому параметру произвольное значение и выразить базисные неизвестные , и через c. Преобразованная матрица соответствует следующей системе уравнений: Из последнего уравнения следует, что . Выразим остальные базисные переменные: Таким образом, общее решение системы найдено: Чтобы найти частное решение, нужно придать параметру c какое-нибудь числовое значение. Полагая c = 4, получаем Проверка: Подставим неизвестные в уравнения системы: Уравнения обратились в тождества.

***

2. Пусть . Найти общее решение однородной системы линейных уравнений AX = 0. Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к ступенчатому виду: Поскольку , а число неизвестных равно 4, то две неизвестные должны рассматриваться как базисные, а оставшиеся переменные как свободные параметры. Полагая и , получаем уклрлченную систему уравнений решение которой имеет вид , . Запишем общее решение и представим его в виде линейной комбинации частных решений: Если общее решение однородной системы представлено в виде линейной комбинации типа то говорят, что частные решения образуют фундаментальную систему решений. В рассматриваемом случае фундаментальную систему решений образуют частные решения и .

***

3. Предположим, что общее решение однородной системы уравнений имеет вид Очевидно, что и поэтому частные решения образуют фундаментальную систему решений.

***

4. Дана матрица . Решить однородную систему линейных уравнений AX = 0. Решение. Преобразуем коэффициентную матрицу к треугольному виду: Соответствующая система имеет только тривиальное решение .

Дата добавления: 2014-12-16