Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Правило Крамера




Читайте также:
  1. C. Шини Крамера
  2. D. Шини Крамера
  3. Агрегат, як правило, кріпиться на рамі автопричепу болтами.
  4. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий
  5. Второе правило
  6. Второе правило Лопиталя.
  7. Е правило: термин, не распределенный в посылке, не может бЫть распределен и в заключении.
  8. Есть одно золотое правило – делайте пять встреч в день с потенциальными клиентами, и успех Вам гарантирован.
  9. Золотое правило жизни заключается в том, что нет никаких золотых правил».
  10. Как набирать текст документа, или Третье правило для приложений
  11. Как правило, не остаются в живых, всегда погибают. Ревут в истерике
  12. Крок 2: Весь свій вільний час я, як правило, прагну присвятити малюванню, просто ради задоволення. Мені подобається малювати милих і симпатичних персонажів і дитячі іграшки.

Существует частный случай, когда решение системы линейных уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в теоретических исследованиях.

Правило Крамера. Пусть матричное уравнение

  AX = B (1)  

описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой

  (2)  


где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов матрицы B:

  (3)  

Доказательство теоремы разобьем на три части:

  1. Решение системы (1) существует и является единственным.
  2. Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).
  3. Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:

  (4)  

Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.

Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).

Используя формулу (4), получим выражение для i-го элемента. Для этого нужно умножить i-ую строку матрицы

на столбец B.

Учитывая, что i-ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:

  (5)  

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя Di по элементам i-го столбца и, следовательно,

  (6)  

Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения

  (7)  

влекут за собой матричное уравнение (1).

Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу i:

  (8)  

Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

  (9)  

Согласно Лемме 1 теоремы об обратной матрице,

  (10)  

где – дельта-символ Кронекера.

Учитывая, что дельта-символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:

  (11)  

Пример.

Решить методом Крамера систему линейных уравнений:

Решение. Вычислим определители, выполняя предварительно элементарные преобразования над их строками и затем разлагая полученные определители по элементам их первых столбцов.

Таким образом,



Ранее эта задача была решена методом Гаусса ( Пример 1).





Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 96; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.221.76.68
Генерация страницы за: 0.008 сек.