Произведение матриц

Пусть – m × l матрица и пусть – l × n матрица.

Тогда произведением AB называется матрица размера m × n, элементы которой вычисляются по правилу умножения i -ой строки матрицы A на j -ый столбец матрицы B:

		(1а)
		(1б)

Если обозначить строки матрицы A символами , а столбцы матрицы B – символами , то правило (1) матричного умножения можно представить в следующем блочном виде:

(2)

Таким образом, если матрица A содержит m строк, а матрица B содержит n -столбцов, то произведение AB представляет собой матрицу С размера m × n. Элемент , стоящий в i -ой строке и j -ом столбце матрицы AB, вычисляется по правилу умножения строки на столбец: i -ая строка матрицы A умножается на j -ый столбец матрицы B.

Операция матричного умножения определена только для матриц, удовлетворяющих определенным условиям:

• Произведение AB определено, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. (Другими словами, число элементов в строке матрицы A должно совпадать с числом элементов в столбце матрицы B.)
• Произведение BA определено, если число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы A.

Отметим, что в общем случае произведение матриц некоммутативно, то есть AB ≠ BA. Более того,

• Существование одного из произведений (AB или BA) не влечет за собой существование другого.
• Если определено каждое из таких произведений, то размеры матриц AB и BA не обязательно совпадают друг с другом. Например, результатом умножения матрицы A размера 1× n на матрицу B размера n ×1 является число (то есть матрица размера 1×1), тогда как произведение BA представляет собой квадратную матрицу n -го порядка.
• Если матрицы A и B являются квадратными маирицами n -го, то и их произведения AB и BA являются матрицами такого же порядка. Однако даже для таких матриц их произведения в одном и другом порядках равны только в некоторых частных случаях.
• Произведение нескольких матриц, расположенных в определенном порядке, однозначно определено, если число столбцов каждой матрицы равно числу строк соседней матрицы справа. В этом случае для нахождения произведения матриц можно использоать произвольный порядок расстановки скобок (см Свойства матричных операций).

Разность AB – BA произведений квадратных матриц одного и того же порядка называется коммутатором матриц.
Сумма AB + BA произведений квадратных матриц одного и того же порядка называется антикоммутатором матриц.

Символическая запись означает произведение двух одинаковых квадратных матриц:
Аналогичным образом определяются другие целые положительные степени квадратной матрицы:

.

(3)

Правило (1) матричного умножения сохраняет свой вид и в том случае, когда элементами матриц A и B являются другие матрицы. Пусть, например, матрицы A и B представлены в виде

(4)

где A_{i j} и B_{i j} – некоторые матрицы, размеры которых таковы, что соответствующие матричные произведения определены.
Тогда

		(5)
Пример 1. Найти коммутатор матриц и Решение: и Тогда

***

Пример 2. Найти A ²⁰¹⁰, если Решение: …

***

Пример 3. Пусть - матрица второго порядка с произвольными элементами. Покажем непосредственным вычислением, что матрица вида играет в матричной алгебре роль единицы. Действительно,

***

Пример 4. Аналогично, матрица не изменяется при умножении слева или справа на матрицу :

***

Пример 5. В условиях Примера 1 найти антикоммутатор матриц A и B. Решение:

***

Пример 6. Пусть Показать, что Решение: ...

Дата добавления: 2014-12-16