Скорость точки

Координатный способ задания движения точки

Движение точки по отношению к выбранной системе отсчёта считается заданным, если известен способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.

Рис.1.3

Положение точки в системе отсчёта полностью определяется её координатами. Если известна зависимость координат от времени, движение точки считается заданным. В зависимости от содержания решаемой задачи можно использовать любую систему координат (декартову, цилиндрическую, сферическую и т.д.), наиболее целесообразную для данной задачи. Мы, в основном, будем использовать прямоугольную декартову систему координат., в которой законы движения точки имеют вид:

(1.1)

где – время.

Вектор , проведённый из начала координат в точку , называется радиусом–вектором точки. Координаты точки одновременно являются проекциями радиуса–вектора на координатные оси (Рис.1.3):

(1.2)

где – единичные векторы (орты) координатных осей.

Задавая координаты точки, мы тем самым задаем ее радиус-вектор. Наоборот, если задан радиус-вектор, то раскладывая этот вектор по координатным осям, определяем координаты точки. Иногда говорят о векторном способе задания движения точки, предполагая при этом, что радиус-вектор задается как функция времени. Такой способ удобен для решения ряда теоретических вопросов, поскольку он компактен и не связан с выбором конкретной системы координат. Но при решении практических задач необходимо переходить к тому или иному координатному способу задания движения точки.

Непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении, называется траекторией точки.

Быстроту движения точки характеризует ее скорость, к определению которой мы сейчас переходим. Пусть в момент времени точка находится в положении , которое

Рис.1.4

определяется радиусом–вектором , а в момент переходит в положение , радиус–вектор которого (Рис.1.4). Вектор называется вектором перемещения точки за время . Если разделить вектор перемещения на , получим вектор того же направления, что и , который определяет среднюю по модулю и направлению скорость точки за время . Понятно, что средняя скорость зависит от выбранного промежутка времени и тем точнее характеризует быстроту движения, чем меньшим выбран промежуток времени .

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло, при величине промежутка времени, стремящейся к нулю:

(1.3)

Таким образом,

вектор скорости равен первой производной по времени от радиуса-вектора точки.

В пределе при секущая , по которой направлен вектор средней скорости, занимает положение касательной к траектории в точке . Следовательно,

вектор скорости направлен по касательной к траектории, причем в сторону движения точки.

Пусть движение точки задано в координатной форме, т.е. уравнениями (1.1). Используя равенство (1.2) и учитывая, что орты координатных осей со временем не изменяются, получаем:

(1.4)

Таким образом,

проекции вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:

(1.5)

Дата добавления: 2014-12-16