Устойчивость и критерии устойчивости

Устойчивость -свойство системы возвращаться в состояние равновесия после вывода её из этого состояния и прекращения изменения задающего или управляющего воздействия.

Для линейных систем:

Если система устойчива в малом-то она устойчива и в большом.

Для нелинейных это не выполняется.

Проблемы устойчивости возникают в замкнутых САУ из-за влияния ОС.

Решение ДУ описывающго систему содержит вынужденную составляющую и переходную составляющую. Общее решение-решение однородного ДУ системы:

В частной области

Согласно теореме о вычетах: при переходе во временную область каждый полюс добавляет к оригинальному часть пропорциональную

Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы все слагаемые, входящие в оригинал функции, по теореме о вычетах были затухающими. Для этого необходимо чтобы для всех полюсов их вещественая часть была отрицательной.

Все полюса передаточной функции должны лежать в левой полуплоскости. Об устойчивости можно судить по расположении полюсов на комплексной плоскости (карта полюсов).

Алгебраические критерии устойчивости

Пусть система имеет характеристическое уравнение n-го порядка

Для того чтобы система была устойчива (все полюса имели отрицательную вещественную часть)необходимо и достаточно,что бы при условии все n - определителя Гурвица были положительны.

Составления главного определителя

1)по главной диагонали записываются коеффициенты характеристического уравнения в порядке убывания начиная с

2)Вниз от главной диагонали столбцы дополняються коэффициентами с возрастающими индексами а вверх с убывающими

3)Свободные места заполняются нулями

Определители более низкого порядка получаются из определителя более высокого порядка путем вычисления одного столбца справа и одной строки снизу

Пример

>0 (Если отрицательный расчет прекращается)

>0 (Если отрицательный расчет прекращается)

>0 (Если отрицательный расчет прекращается)

Такое же правило следует и для матриц высших параметров

Предельный коэффициент усиления системы

Для уменьшения ошибки в установившемся режиме необходимо увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы. Однако, -коэффициент разомкнутой системы входит в коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы,а значит влияет на ее устойчивость и при увеличении замкнутая система может стать не устойчивой.

-при котором система находиться на границе устойчивости - граничный коэффициент усиления.

Пример

передаточной функция разомкнутой системы

В частном случие

Проверяем определитель Гурвица

Запас устойчивости по усилению это отношения предельного коэффициента усиления системы к ее коэффициенту усиления

Дата добавления: 2014-12-16