Коломна 2013

Связь истории отечественного государства и права с другими юридическими дисциплинами.

2. Рождение (генезис) Древнерусского государства

ТЕМА 1................................................................................. Системы счисления... 3

Задача 1. Выполнить указанные в таблице задания.. 7

Задача 2. В какой системе счисления справедливо заданное равенство?.. 9

Задача 3. Найти основание x системы счисления, для которой выполняется равенство.. 9

Задача 4. Вычислить значение заданного выражения в десятичной системе счисления. Перевести каждое число в двоичную систему счисления (с точностью до 4 разрядов после запятой). Выполнить все действия в двоичной системе счисления. Результат перевести в десятичную систему счисления. Определить погрешность вычисления как разность между результатами первого и последнего действий 9

Задача 5. Для заданного десятичного числа выполнить следующие преобразования систем счисления: 10’8’10’16’10; 8’16.. 11

ТЕМА 2........................................................... Представление информации... 13

Представление вещественных чисел в типе Single. 15

Задача 6.Два числа X1 и X2 хранятся в формате 1 байт со знаком. Заданы их шестнадцатеричные значения. Чему равны их десятичные значения?.. 16

Задача 7.Проинтерпретировать 16 разрядов памяти компьютера в соответствии со следующими типами языка Паскаль: Byte, Shortint, Char, Word, Integer. 17

Задача 8.Переменная А имеет тип Single языка Паскаль. Задано представление значения А в шестнадцатеричной системе счисления. Чему равно десятичное значение числа A?.. 18

ТЕМА 3....................................................................... Основы алгебры логики... 20

Задача 9.Вычислить значение логического выражения на заданном наборе логических переменных. 20

Задача 10.Проверить справедливость равенства, используя законы алгебры логики. 21

Задача 11.Упростить логическое выражение, используя законы алгебры логики 22

Система счисления – это совокупность приёмов и правил представления чисел посредством числовых символов (цифр).

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (вклад в значение числа) не зависит от её позиции в числе. Например, в римской системе в числе ХХI (двадцать один) вес цифры Х в любой позиции равен десяти.

В позиционных системах вес цифры определяется её позицией в числе. Например, в десятичном числе 525,5 первая пятёрка означает 5 сотен, вторая – 5 единиц, третья – 5 десятых долей единицы. Запись числа 525,5 есть сокращённая запись суммы

Основание позиционной системы счисления – это количество цифр, используемых для представления чисел в этой системе.

В системе счисления с основанием р любое число

i – номера разрядов в числе, i = – m, – m+ 1, … – 1, 0, 1, 2, …, n –1, n;

Разряды в числе нумеруются как 0, 1, 2, … справа налево от запятой в целой части и как –1, –2, … слева направо от запятой, отделяющей целую часть от дробной, например:

Номера разрядов 3210–1 –2 –3

1520,041

Двоичная система счисления. Основание системы счисления равно 2. Для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Двоичная система счисления используется для представления информации в памяти компьютера по следующим причинам: 1) простота реализации и надёжность работы устройств, имеющих два устойчивых состояния; 2) простота двоичной арифметики; 3) возможность использования одних и тех же устройств для реализации арифметических и логических операций, связанная со схожестью правил булевой алгебры и двоичной арифметики.

Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления:

Сложение		Умножение		Вычитание
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10		0 ´ 0 = 0 0 ´ 1 = 0 1 ´ 0 = 0 1 ´ 1 = 1		0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 – 1 = 0 10 – 1 = 1

Пример 1. Выполнение арифметических операций в двоичной системе счисления:

			.2.2	´	101,101
+	101,1010	–	10111,1010
1100,1011	1100,1001	+
	10010,0101		1011,0001
Переносы	11 11 1				1000,0111
				Переносы

При вычитании двоичных чисел используется известный в десятичной системе счисления приём занимания 1 из ближайшего слева (старшего) не равного нулю разряда (заём 1 из какой-либо цифры отмечается точкой над этой цифрой). Причём, если в десятичной системе счисления над цифрой разряда, для которого выполнялся заём, записывается число 10, то для двоичной системы счисления – число 2 (в общем случае – основание системы счисления, в которой выполняется вычитание). Это определяется свойством: основание системы счисления показывает, во сколько раз вес текущего разряда больше веса предыдущего разряда (с меньшим номером).

Восьмеричная система счисления. Основание системы счисления равно 8. Для записи чисел используются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Прибавление единицы к старшей цифре 7 даёт первое двузначное число 10, т. е. 7₈ + 1₈ = 10₈.

Пример 2. Выполнение арифметических операций в восьмеричной системе счисления:

			. 8.8
+	125,71	–	572,75
16,24	124,56
	144,15		446,17
Переносы

При сложении восьмеричных чисел в каждом разряде складываются две цифры, и если их сумма меньше восьми, то результат записывается в соответствующий разряд суммы. Если сумма цифр больше восьми, то из неё вычитается восемь, разность записывается в текущий разряд суммы, а единица переноса прибавляется к соседнему старшему разряду суммы.

При вычитании восьмеричных чисел используется приём занимания 1 из ближайшего слева не равного нулю разряда. Над цифрой разряда, для которого выполнялся заём, записывается число 8.

Шестнадцатеричная система счисления. Основание системы счисления равно 16. Для записи чисел используются шестнадцать цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F. Прибавление единицы к старшей цифре F даёт первое двузначное число 10, т. е. F₁₆ + 1₁₆ = 10₁₆.

Пример 3. Сложение и вычитание в шестнадцатеричной системе счисления:

			.16.16
+	1А5,В1	–	5F1,C5
1С,24	124,56
	1C1,D5		4CD,6F
Переносы

При сложении шестнадцатеричных чисел в каждом разряде складываются две цифры, и если их сумма меньше шестнадцати, то результат записывается в соответствующий разряд суммы. Если сумма цифр больше шестнадцати, то из неё вычитается шестнадцать, разность записывается в текущий разряд суммы, а единица переноса прибавляется к соседнему старшему разряду суммы.

При вычитании шестнадцатеричных чисел используется тот же приём занимания 1 из ближайшего слева (старшего) не равного нулю разряда. Над цифрой разряда, для которого выполнялся заём, записывается число 16.

Запись чисел в системах счисления с основаниями 10, 2, 8, 16


	B
	C
	D
	E
	F	1A
		1B
		1C
		1D
		1E
		1F
A

Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием р.

1. Перевод целых чисел. Исходное десятичное число делится на основание той системы счисления, в которую переводим (р), нацело с записью целого частного и остатка от деления. Каждое полученное целое частное вновь делится на р до тех пор, пока частное от деления не станет равным нулю. Остатки от деления, записанные в порядке, обратном их получению, представляют искомое р -ичное число.

2. Перевод дробных чисел. Цифры десятичной дроби умножаются на основание той системы счисления, в которую переводим (р), с раздельной записью целой и дробной частей произведения. Дробные части произведений вновь умножаются на р по тому же правилу до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной 0, либо пока не будет вычислено заданное количество дробных р -ичных цифр. Целые части произведений, записанные в порядке их получения, представляют цифры искомой р -ичной дроби.

Пример 4. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную:

Перевод числа 11		Перевод числа 0,7 с точностью до четырёх дробных цифр
Частные	Остатки		Целые части	Дробные части
от деления на 2	от умножения дробных частей на 2
			0,
	1		¯ 1
	1		¯ 0
	0		¯ 1
	1		¯ 1
Получаем:		Получаем:

Пример 5. Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную:

Перевод числа 41		Перевод числа 0,4 с точностью до двух дробных цифр
Частные	Остатки		Целые части	Дробные части
от деления на 8	от умножения дробных частей на 8
			0,
	1		¯ 3
	5		¯ 1
Получаем:		Получаем:

Пример 6. Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

Перевод числа 75		Перевод числа 0,9 с точностью до двух дробных цифр
Частные	Остатки		Целые части	Дробные части
от деления на 16	от умножения дробных частей на 16
			0,
	11 = В		¯ Е Ü 14
	4		¯ 6
Получаем:		Получаем:

Перевод чисел из системы счисления с основанием р в десятичную систему счисления. Перевод р -ичного числа в десятичную систему счисления выполняется по формуле (1), при этом основание р и цифры числа записываются в десятичной системе счисления и все действия выполняются по правилам десятичной арифметики.

Пример 7. Переведём двоичное число 1010,011 в десятичную систему счисления. Для этого пронумеруем разряды в числе и запишем его по формуле (1):

Обратите внимание, что здесь выполнены переводы чисел, полученных в примере 4. Сравните результаты. Целое число из десятичной системы счисления было переведено точно, а дробное – приближённо. Последнее связано с тем, что при переводе дробного числа мы ограничились заданным количеством дробных цифр, а остальные отбросили, допустив тем самым погрешность перевода.

Пример 8. Переведём восьмеричное число

(числа из примера 5) в десятичную систему счисления:

Пример 9. Переведём шестнадцатеричное число

(числа из примера 6) в десятичную систему счисления:

Целые положительные и отрицательные степени чисел 2, 8 и 16

2⁰	8⁰	16⁰				2^–1			0,5
2¹			2⁹	8³		2^–2			0,25
2²			2¹⁰			2^–3	8^–1		0,125
2³	8¹		2¹¹			2^–4		16^–1	0,0625
2⁴		16¹	2¹²	8⁴	16³	2^–5			0,03125
2⁵			2¹³			2^–6	8^–2		0,015625
2⁶	8²		2¹⁴			2^–7			0,0078125
2⁷			2¹⁵	8⁵		2^–8		16^–2	0,00390625
2⁸		16²	2¹⁶		16⁴	2^–9	8^–3		0,001953125

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную. Поскольку

, то каждая восьмеричная цифра эквивалентна группе из трёх двоичных цифр (триаде):

Восьмеричная цифра
Двоичная триада

Для перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную каждая цифра исходного восьмеричного числа заменяется соответствующей ей двоичной триадой, например:

		2,	2₈	=11110010,01₂	При записи результирующего двоичного числа незначащие нули можно отбросить.
¯	¯	¯	¯
011₂	110₂	010₂	010₂

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную. Двоичное число делится на триады влево и вправо от запятой, отделяющей целую часть двоичного числа от дробной. Неполная старшая триада дополняется незначащими нулями слева, неполная младшая – незначащими нулями справа, значение числа при этом не изменяется. Затем каждая двоичная триада заменяется соответствующей ей восьмеричной цифрой. Например:

001\|	010\|	101\|,	011₂	= 125,3₈	Добавленные в неполную старшую тетраду нули перечёркнуты.
¯	¯	¯	¯
1₈	2₈	5₈	3₈

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную. Поскольку

, то каждая шестнадцатеричная цифра эквивалентна группе из четырёх двоичных цифр (тетраде):

Шестнадцатеричная цифра

Двоичная тетрада

Для перевода из шестнадцатеричнойсистемы счисления в двоичную каждая цифра исходного шестнадцатеричногочисла заменяется соответствующей ей двоичной тетрадой:

	А	2,	С₈	=1110100010,11₂	При записи результирующего двоичного числа незначащие нули можно отбросить.
¯	¯	¯	¯
0011₂	1010₂	0010₂	1100₂

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную. Двоичное число делится на тетрады влево и вправо от запятой, отделяющей целую часть двоичного числа от дробной. Неполная старшая тетрада дополняется незначащими нулями слева, неполная младшая – справа. Затем каждая двоичная тетрада заменяется соответствующей ей шестнадцатеричной цифрой. Например:

0101\|	1100\|	1001\|,	1110₂	= 5С9,Е₁₆	Добавленные в неполные тетрады нули перечёркнуты.
¯	¯	¯	¯
5₁₆	С₁₆	9₁₆	Е₁₆

Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную выполняется через двоичную систему счисления: сначала восьмеричное число переводится в двоичную систему счисления; затем полученное двоичное число переводится в шестнадцатеричную систему счисления. Правила переводов изложены выше. Например:

		3,	5₈	= 1111011,101₂ =	0111\|	1011\|,		= 7В,А₁₆
¯	¯	¯	¯		¯	¯	¯
001₂	111₂	011₂	101₂		7₁₆	В₁₆	А₁₆

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную выполняется также через двоичную систему счисления: сначала шестнадцатеричное число переводится в двоичную систему счисления; затем полученное двоичное число переводится в восьмеричную систему счисления. Правила переводов изложены выше. Например:

	F	0,	3₁₆	= 111110000,0011₂ =	111\|	110\|	000\|,	001\|		= 760,14₈
¯	¯	¯	¯		¯	¯	¯	¯	¯
0001₂	1111₂	0000₂	0011₂		7₈	6₈	0₈	1₈	4₈

Задача 1. Выполнить указанные в таблице задания

Вариант	Задания
1.	Какие целые числа следуют за числами:
2.	Какие целые числа предшествуют числам:
3.	Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения: а) 1101,1₂ и 101,1₂; б) А,В₁₆ и E,F₁₆.
4.	Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) 1011011₂; б) 1010₈.
5.	Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) 125₁₀; б) 229,5₁₀
6.	Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) 1001111110111,0111₂; г) 1011110011100,11₂; б) 1110101011,1011101₂; д) 10111,1111101111₂; в) 10111001,101100111₂; е) 1100010101,11001₂.
7.	Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: а) 2СЕ₁₆; б) 9F40_l6; в) CDE₁₆
8.	Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а)517₁₆; б) ABC₁₆
9.	Выпишите целые числа: а) от 101101₂ до 110000₂; б) от 202₃ до 1000₃; в) от 14₈ до 20₈; г) от 28₁₆ до 30₁₆.
10.	Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения: а) 1011101₂ и 1110111₂; в) 37₈ и 75₈; д) А₁₆ и F₁₆.
11.	Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем выполните обратные переводы: а) 88₁₀; б) 37,25₁₀
12.	Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения: 11₁₆, Е₁₆, 9₁₆ и А₁₆.
13.	Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения: а) 1011,101₂ и 101,011₂; б 165₈ и 37₈; в) 19₁₆и С₁₆;
14.	Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения: а) 1011₂,1₂ и 111,1₂; б) 7,5₈ и 14,6₈.
15.	Сложите числа, а затем проверьте результаты, выполнив соответствующие десятичные сложения: а) 1011₂, 11,1₂и 111₂; б) 6₈, 17₈ и7₈.
16.	Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) 1010₁₆; б) 1234₈
17.	Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: а) 1F₁₆; б) 517₈
18.	Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: а) 1010,101₁₆; б) 1ABC,9D₁₆.
19.	Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем выполните обратные переводы: а) 36; б) 206,125₁₀.
20.	В какой системе счисления выполнены следующие сложения? Найдите основания каждой системы:

Задача 1. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в системах счисления: а) двоичной; б) восьмеричной; в) шестнадцатеричной?

а) Так как в двоичной системе счисления старшая цифра равна 1, то наибольшее число, которое можно записать тремя цифрами равно

. В десятичной системе счисления:

Второй способ. Несложно сообразить, что эта задача может быть решена и так:

. В десятичной системе счисления:

;

б) В восьмеричной системе счисления старшая цифра равна 7, поэтому наибольшее число, которое можно записать тремя цифрами равно

. Переведём его в десятичную систему счисления:

в) В шестнадцатеричной системе счисления старшая цифра равна F, поэтому наибольшее число, которое можно записать тремя цифрами равно

. Переведём его в десятичную систему счисления:

Задача 2. В какой системе счисления справедливо заданное равенство?

Вариант	Равенство	Вариант	Равенство
1.	20 + 25 = 100	11.	22 + 55 = 110
2.	25 + 35 = 104	12.	88 + 24 = 101
3.	23 + 32 = 121	13.	22 + 45 = 111
4.	111 – 33 = 45	14.	88 + 44 = 110
5.	99 + 67 = 100	15.	89 + 78 = 101
6.	50 + 50 = 120	16.	14 + 34 = 103
7.	35 + 25 = 104	17.	31 + 46 = 110
8.	24 + 68 = 103	18.	11 + 55 = 110
9.	23 + 32 = 110	19.	17 + 77 = 105
10.	71 + 21 = 112	20.	55 + 34 = 111

Задача 2. В какой системе счисления справедливо равенство 22 + 44 = 110?

Решение. Пусть х – искомое основание системы счисления. Тогда

;

. Таким образом,

или

. Положительным корнем этого квадратного уравнения является

Задача 3. Найти основание x системы счисления, для которой выполняется равенство

Вариант	Равенство	Вариант	Равенство
1.	55₁₀ = 210 _х	11.	79₁₀ = 211 _х
2.	62₁₀ = 142 _х	12.	106₁₀ = 211 _х
3.	188₁₀ = 161 _х	13.	133₁₀ = 111 _х
4.	81₁₀ = 311 _х	14.	84₁₀ = 150 _х
5.	70₁₀ = 130 _х	15.	99₁₀ = 120 _х
6.	90₁₀ = 110 _х	16.	70₁₀ = 240 _х
7.	84₁₀ = 220 _х	17.	101₁₀ = 245 _х
8.	109₁₀ = 131 _х	18.	220₁₀ = 190 _х
9.	87₁₀ = 322 _х	19.	161₁₀ = 188 _х
10.	151₁₀ = 128 _х	20.	92₁₀ = 161 _х

Задача 3. Найти основание x системы счисления, для которой выполняется равенство

Решение. В десятичной системе счисления:

. Таким образом,

или

. Положительным корнем этого квадратного уравнения является

Вариант	Выражение	Вариант	Выражение
1.	12,1 ´ 3 – 17,6	11.	17,1 ´ 3 – 14,6
2.	19,8: 2 – 7,4	12.	11,7 ´ 3 – 12,4
3.	11,3 ´ 3 + 6,6	13.	27,5: 2 – 11,9
4.	13,6 ´ 3 – 9,7	14.	19,6 ´ 3 – 12,7
5.	10,6 ´ 3 – 9,8	15.	11,7 ´ 3 – 8,4
6.	12,4 ´ 3 – 21,6	16.	12,6 ´ 3 – 22,3
7.	28,6: 2 – 10,8	17.	10,3 ´ 3 – 19,7
8.	17,3 ´ 3 + 4,9	18.	23,5: 2 – 9,9
9.	13,3 ´ 3 – 8,3	19.	9,6 ´ 3 + 2,7
10.	11,7 ´ 3 – 9,4	20.	7,8 ´ 3 – 11,6

Задача 4. Вычислить значение выражения 7,9 ´ 3 – 12,6 в десятичной системе счисления. Перевести каждое число в двоичную систему счисления (с точностью до 4 разрядов после запятой). Выполнить все действия в двоичной системе счисления. Результат перевести в десятичную систему счисления. Определить погрешность вычисления как разность между результатами первого и последнего действий.