Метод прямоугольников

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой:

.

(7.3)

Разобьём интервал интегрирования [ a, b ] на n равных частей. Обозначим х_i = h шаг разбиения. Формула прямоугольника применяется к каждому отрезку. В качестве точек выбираются левые = х_{i -1}) или правые ( = х_i) границы элементарных отрезков (рис.7.1).

Соответственно, для этих двух случаев можно записать формулы метода прямоугольников:

;	(7.4)
.	(7.5)

Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков: точка . Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f (x) в середине оснований (рис.7.2).

Получим формулу:

, где ,

(7.6)

или

.

(7.7)

На рис.7.3. приведена блок- - схема метода прямоугольников, в Приложении - программа с графическим выводом интегральной кривой.

Рис.7.1

Рис.7.2

Рис.7.3. Блок-схема метода прямоугольников

Метод трапеций

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции у = f (х) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (х_i, у_i). В этом случае площадь всей криволинейной трапеции складывается из площадей элементарных прямоугольных трапеций (рис.7.4 а, 7.4 б)

Рис.7.4 а

Рис.7.4 б

Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле:

, i=1,2,...,n.

(7.8)

, где n - число интервалов разбиения.

Складывая все эти равенства, получим формулу трапеций для численного интегрирования:

,

(7.9)

или

.

(7.10)

Формулы (7.9) и (7.10) можно представить в виде:

,	(7.11)
.	(7.12)

Блок - схема алгоритма метода трапеций приведена на рис.7.5.

Метод парабол (формула Симпсона)

Этот метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций.

В основе формулы Симпсона лежит квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [a,b] по трем равноотстоящим узлам.

Разобьем интервал интегрирования [a, b] на четное число n равных отрезков с шагом h.

Примем: x ₀= a, x ₁= x ₀+ h,..., x _n = x ₀+ nh = b.

Значения функций в точках обозначим соответственно:

y ₀= f (a); y ₁= f (x ₁); y ₂= f (x ₂);...; y_n = f (b).

Рис. 7.5. Блок-схема метода трапеций

На каждом отрезке [ x ₀, x ₂], [ x ₂, x ₄],..., [ x_{i -1}, x_{i +1}] подынтегральную функцию f (x) заменим интерполяционным многочленом второй степени.

, где .

(7.13)

В качестве Р_i (х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через концы каждых трех ординат:

y 0, y 1, y 2; y 2, y 3, y 4; y 4, y 5, y 6;....; yn -2, yn -1, yn.

Формула Лагранжа для интервала [ x_{i -1}, x_{i +1}]:

Рис. 7.6.

Элементарная площадь si (рис.7.6) может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая, что x_i - x_{i -1}= x_{i +1}- x_i = h и, проведя вычисления, получим для каждого элементарного участка:

.

(7.14)

После суммирования интегралов по всем отрезкам, получим составную формулу Симпсона:

.

(7.15)

Часто пользуются простой формулой Симпсона:

.

(7.16)

Рис.7.7. Блок-схема метода Симпсона

Пример 7.1. Вычислить интеграл

.

Разбиваем интервал интегрирования на 10 равных частей: n =10. Шаг интегрирования h = (1-0)/10=0.1. Результаты вычислений подынтегральной функции приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

xi	xi ^2	1+ xi ^2	f (xi) i =1,3,...	f (xi) i =2,4,...	f (x 0), f (x 10)
0.0	0.00	1.00	--	--	1.00000
0.1	0.01	1.01		--	--
0.2	0.04	1.04	--	0.96154	--
0.3	0.09	1.09	0.91743	--	--
0.4	0.16	1.16	--	0.76207	--
0.5	0.25	1.25	0.70000	--	--
0.6	0.36	1.36	--	0.073529	--
0.7	0.49	1.49	0.67114	--	--
0.7	0.64	1.64	--	0.60976	--
0.9	0.71	1.71	0.55249	--	--
1.0	1.00	2.00	--	--	0.50000
			3.93116	3.16766	1.50000

Вычислим интеграл по формуле трапеций (7.12):

по формуле Симпсона (7.15):

Для вычисления интеграла по методу прямоугольников, необходимо вычислить значения функции в середине каждого элементарного отрезка: или . Результаты вычислений подынтегральной функции приведены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

xi
0.0	0.05	0.0025	0.9975
0.1	0.15	0.0225	0.9770
0.2	0.25	0.0625	0.9412
0.3	0.35	0.1225	0.7907
0.4	0.45	0.2025	0.7316
0.5	0.55	0.3025	0.7677
0.6	0.65	0.4225	0.7030
0.7	0.75	0.5625	0.6400
0.7	0.75	0.7225	0.5705
0.9	0.95	0.9025	0.5256
1.0	1.00	1.00	--
			7.756

По формуле прямоугольников (7.6) получим:

Найдем точное значение интеграла:

Относительная погрешность при применении формулы трапеций составляет 0,05 %, формулы прямоугольников - 0,026 %, формулы Симпсона - 0,00025 %. Таким образом, точность вычислений по формуле Симпсона выше, чем по формулам трапеций и прямоугольников.

Пример 7.2. Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле:

.

Принимаем количество молей n =1, значение теплоемкости при v =const:

Cv=35.0 Дж/моль*К.

Разобьем интервал интегрирования на 10 равных частей. Шаг интегрирования будет равен h =(500 - 400) /10 =10.

Результаты вычислений подынтегральной функции поместим в табл. 7.3.

Вычислим интеграл, используя данные табл.7.3:

по формуле трапеций (7.12):

,

по формуле Симпсона (7.15):

,

Таблица 7.3

Т	f (Ti) i= 1,3, …	f (Ti) i =2,4, …	f (T 0) f (T 10)
	-		0.0875		0.08642
	0.08536				0.08434
		0.08333			0.08235
	0.08140				0.08046
		0.07955			0.07865
	0.07778				0.07692
		0.07609			0.07527
	0.07447				0.07368
		0.07292			0.07216
	0.07143				0.07071
			0.0700
	0.39044	0.31189	0.1575		0.78096

по формуле прямоугольников (7.6):

.

Найдем точное значение интеграла:

.

Относительная погрешность вычислений по формуле трапеций, Симпсона и прямоугольников составляет соответственно: 0.01 %, 0.001 %, 0.005 %. Таким образом, наибольшую точность вычислений получили по формуле Симпсона.

Дата добавления: 2014-12-16