Однонаправленные функции

Концепция асимметричных криптосистем с открытым ключом основана на применении однонаправленных функций. Однонаправленную функцию (ОФ) можно определить следующим образом.

Пусть и - некоторые производные множества. Функция является однонаправленной, если для всех можно легко вычислить функцию y = f(x), где . И в тоже время для большинства достаточно сложно получить значение , такое, что f(x) = y (при этом полагаем, что существует по крайней мере одно такое значение x).

Основным критерием отнесения функции f к классу ОФ является отсутствие эффективных алгоритмов обратного преобразования . Примеры однонаправленных функций.

1. Целочисленное произведение двух больших чисел.

Прямое преобразование - вычисление произведения двух очень больших чисел и , т.е. нахождение значения , является относительно несложной задачей для ЭВМ. Обратное преобразование – разложение на множители большого целого числа, т.е. нахождение деталей и большого

, является практически неразрешенной задачей при достаточно больших значениях . По оценке теории чисел для разложения целого потребуется около операций т.е. задача практически неразрешима для ЭВМ.

2. Модульная экспонента с фиксированным основанием и модулем.

Пусть и - целые числа, такие, что . Модульная экспонента с основанием по модулю представляет собой функцию , где - целое число, . Существуют эффективные алгоритмы, позволяющие достаточно быстро вычислить значение функции . Обратное преобразование, т.е. нахождение из соотношения представляет собой трудновыполнимую задачу, т.к. для существует обратная функция , то часто нахождение аргумента по известным , и называют задачей дискретного логарифмирования. Следует иметь ввиду, что , где .

По оценкам теории чисел при целых числах порядка и решением задачи дискретного логарифмирования (нахождение показателя степени для известного ) потребуется операций. Т.е. для модульной экспоненты на сложнее вычислять обратное преобразование, чем для целочисленного произведения. Однако до сих пор не доказано, что не существует эффективного логарифма за приемлемое время. Тем не менее модульная экспонента отнесена к однонаправленным функциям условно и широко используется на практике.

Кроме однонаправленных функций рассмотренного типа применяются однонаправленные функции с секретом (потайным ходом). Функция относится к классу ОФ с секретом в том случае, если она является однонаправленной и, кроме того, возможно эффективное вычисление обратной функции, если известен “потайной ход” (секретное число, строка, или другая информация о данной функции).

Дата добавления: 2014-12-16