Коэффициент детерминации

Введем показатель, характеризующий качество аппроксимации экспериментальных данных с помощью функции линейной регрессии. Отметим, что среди всевозможных наблюдаемых пар данных (x_i, y_i) наблюдаемый в статистическом эксперименте разброс значений переменной y обязан двум факторам. Во–первых, переменная y зависит от x и, следовательно, меняется потому, что в разных экспериментах наблюдались различные значения переменной x. Во–вторых, значения y меняются от эксперимента к эксперименту потому, что y зависит от случайной величины e, которая будет принимать различные значения даже при постоянном значении x. Мерой разброса (вариацией) значений переменной y естественно считать выборочную дисперсию . Определим, какая доля дисперсии приходится на детерминированную зависимость y от x, а какая – на стохастическую зависимость y от e.

По определению выборочной дисперсии, получаем

Покажем, что второе слагаемое в приведенной сумме можно отбросить (то есть сумма этих слагаемых равна 0). Вспомним, что параметры b ₀ и b ₁ были найдены как решения линейной системы уравнений

С учетом этих уравнений получаем:

Следовательно, дисперсия распадается на два слагаемых: остаточную сумму квадратов

и регрессионную дисперсию, связанную с детерминированной частью зависимости,

.

Коэффициентом детерминации R ² называется отношение этой последней суммы к суммарной дисперсии , то есть

.

С учетом соотношения , получаем

.

Окончательная формула:

.

Таким образом, коэффициент детерминации R ² есть доля в вариации переменной Y, за которую отвечает детерминированная часть регрессии. По определению, величина R ² принимает значения от 0 до 1. Если R ²=1, то стохастическая часть не оказала влияния на значения Y в статистическом опыте (то есть можно считать, что e =0). Наоборот, R ²=0 только в случае b ₀= b ₁=0.

Дата добавления: 2014-12-16