Метод Рунге-Кутта

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальными условиями y(x₀)=y₀. Выберем шаг h и для краткости введем обозначения x_i=x₀+ih и y_i=y(x_i), (i=0,1,2,…).

В вычислительной практике наиболее часто используется метод Рунге-Кутта. Приведем без вывода один из вариантов соответствующих расчетных формул:

(9)

Последовательные приближения y_i искомой функции y определяются по формуле:

,

где (10)

, (i = 0,1,2,...).

Отметим, что в этом случае погрешность на шаге пропорциональна пятой степени шага (h⁵). Отсюда, в частности, следует, что при достаточно малом h и малых погрешностях вычислений решение уравнения (1), полученное методом Рунге-Кутта по формулам (9), будет близким к точному.

Геометрический смысл использования метода Рунге-Кутта с расчетными формулами (9) состоит в следующем. Из точки (x_i,y_i) сдвигаются в направлении, определяемом углом a₁, для которого tga₁=f(x_i,y_i). На этом направлении выбирается точка с координатами (x_i+h/2, y_i+k₁/2). Затем из точки (x_i,y_i) сдвигаются в направлении, определяемом углом a₂, для которого tga₂=f(x_i+h/2, y_i+k₁/2), и на этом направлении выбирается точка с координатами (x_i+h/2, y_i+k₂/2). Наконец, из точки (x_i,y_i) сдвигаются в направлении, определяемом углом a₃, для которого tga₃=f(x_i+h/2, y_i+k₂/2), и на этом направлении выбирается точка с координатами (x_i+h, y_i+k₃). Этим задается еще одно направление, определяемое углом a₄, для которого tga₄=f(x_i+h, y_i+k₃). Четыре полученных направления усредняются в соответствии с последней из формул (9). На этом окончательном направлении и выбирается очередная точка (x_i+1,y_i+1)= (x_i+h,y_i+Dy).

Дата добавления: 2014-12-16