Физическая величина. Системы единиц физических величин. Международная система СИ

Физическая величина (ФВ) - свойство, общее в качественном отношении многим физическим объектам (физическим системам, их состояниям и происходящим в них процессам), но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта (например, длина, масса, время, сила тока и др.). Индивидуальность в количественном отношении следует понимать в том смысле, что свойство может быть для одного объекта в определенное число раз меньше или больше, чем для другого (например: масса солнца, стола, человека). Термин ФВ допускается применять для свойств, изучаемых в физике, химии и других науках, если для сравнения их количественного содержания в разных объектах требуется применение физических методов. Не следует применять термин «величина» для выражения только количественной стороны рассматриваемого свойства, например, писать «величина массы», «величина давления», «величина силы» и т.д., т.к. эти свойства (масса, давление, сила) сами являются величинами. В этих случаях следует применять термин «размер величины».

Размер ФВ (размер величины) - количественное содержание в данном объекте свойства, соответствующего понятию «физическая величина» (например, размер длины, массы, силы тока и т.д.). Другими словами, под понятием «размер физической величины» понимается количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, системе, явлению или процессу.

Значение ФВ (значение величины) - оценка физической величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц, причем отвлеченное (безразмерное) число, входящее в значение физической величины, называется числовым значением (например,1 м, 5 г, 10 А и др.). Под значением ФВ понимается выражение размера ФВ в виде некоторого числа принятых для нее единиц.

Истинное значение ФВ (истинное значение величины) - значение ФВ, которое идеальным образом отражало бы в качественном и количественном отношениях соответствующее свойство объекта.

Действительное значение ФВ (действительное значение величины) - значение ФВ, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному значению, что для данной цели может быть, использовано вместо него.

Система ФВ (система величин) - совокупность ФВ, связанных между собой определенными зависимостями, выражающими законы природы и (или) определяющие новые физические величины. Для обозначения системы величин указывают группу основных величин, которые обычно обозначаются символами их размерностей. Например, система величин механики LMT, в которой в качестве основных величин приняты длина l, масса m, время t; система величин LMTI, охватывающая механические и электрические величины, в которой в качестве основных величин приняты длина l, масса m, время t, сила электрического тока i.

Основная ФВ (основная величина) - физическая величина, входящая в систему и условно принятая в качестве независимой от других величин этой системы (например, в системе LMT основные величины - длина, масса, время).

Производная ФВ (производная величина) - ФВ, входящая в систему и определяемая через основные величины этой системы по известным физическим зависимостям. Например, скорость в системе величин LMT определяется в общем случае уравнением v=dl/dt, где v - скорость, l - расстояние, t - время.

Размерность ФВ (размерность величины) - выражение, отражающее связь величины с основными величинами системы, в которой коэффициент пропорциональности равен единице. Размерность величины представляет собой произведение основных величин, возведенных в соответствующие степени (например, в системе LMT размерность величины X будет: dimX=L^aM^bT^g, где L,M,T- размерности основных величин, a,b,g - целые или дробные, положительные или отрицательные вещественные числа, которые являются показателями размерности). Размерность ФВ - это более общая характеристика, чем определяющее величину уравнение, так как одна и та же размерность может быть присуща величинам, имеющим различную качественную сторону и различающимся по форме определяющего уравнения. Например, работа силы F определяется уравнением ; кинетическая энергия движущегося тела - уравнением , а размерность той и другой - одинакова.

Понятие «размерность» распространяется и на основные физические величины. Размерность основной величины в отношении самой себя равна единице и не зависит от других величин, т.ф. формула ее размерности совпадает с ее символом. Например, размерность массы - М, времени - Т и т.д.

Единица ФВ (единица величины) - физическая величина, которой по определению присвоено числовое значение, равное 1. Единицы одной и той же ФВ могут различаться по своему размеру, например, метр, фут и дюйм, являясь единицами длины, имеют различный размер:

1 фут = 0,3038 м, 1 дюйм = 0,0254 м.

Основная единица ФВ (основная единица величины)- единица основной ФВ, выбранная произвольно при построении системы единиц (например, основные единицы Международной системы СИ: метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела).

Производная единица ФВ (производная единица величины) - единица производной ФВ, образуемая по определяющему эту единицу уравнению из основных единиц данной системы единиц.

Система единиц ФВ (система единиц) - совокупность основных и производных единиц, относящаяся к некоторой системе величин и образованная в соответствии с принятыми принципами. Например, система единиц СГС, система МКСА, Международная система единиц (СИ) (например, 1 м/с - единица скорости, образованная из основных единиц СИ - метра и секунды; 1 Н - единица силы, образованная из основных единиц СИ - килограмма, метра и секунды).

Когерентная система единиц ФВ (когерентная система) - система единиц, все единицы, которой когерентны (т.е. множитель в уравнениях связи ФВ равен 1).

Кратная и дольная единица ФВ - единица в целое число раз больше или, соответственно, меньше системной или внесистемной единицы. Например, километр (1000 м) или миллиметр (0,001 м).

Шкала ФВ - последовательность значений, присвоенная в соответствии с правилами, принятыми по соглашению, последовательности одноименных ФВ различного размера (например шкала медицинского термометра или весов).

Термин «величина» обычно применяется в отношении тех свойств или характеристик, которые могут быть оценены количественно, т.е. могут быть измерены. Существуют такие свойства или характеристики, которые в настоящее время наука и техника еще не позволяют оценивать количественно, например, запах, вкус, цвет. Поэтому такие характеристики обычно избегают называть «величинами», а называют «свойствами».

В широком смысле «величина» - понятие многовидовое. Это можно продемонстрировать на примере трех величин.

Первый пример - это цена, стоимость товаров, выраженная в денежных единицах. Раньше системы денежных единиц были составной частью метрологии. Сейчас - это самостоятельная область.

Вторым примером разновидности величин можно назвать биологическую активность лекарственных веществ. Биологическая активность ряда витаминов, антибиотиков, гормональных препаратов и т.п. выражается в Международных единицах биологической активности, обозначаемых И.Е. (Например, в рецептах пишут «количество пенициллина - 300 тыс. И.Е.»).

Третий пример - физические величины, т.е. свойства, присущие физическим объектам (физическим системам, их состояниям и происходящим в них процессам). Именно этими величинами, главным образом, и занимается современная метрология.

В тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что речь идет о количественном содержании в данном объекте физической величины, следует употреблять слово «размер». Количественная оценка конкретной физической величины, выраженная в виде некоторого числа единиц данной величины, называется значением физической величины. Отвлеченное число, входящее в значение физической величины, называется числовым значением. Между значением и размером величины есть принципиальная разница. Размер величины существует реально, независимо от того, знаем ли мы его, или нет. Выразить размер величины можно при помощи любой единицы.

Размер ФВ, обозначаемый Q, не зависит от выбора единицы, однако числовое значение целиком зависит от выбранной единицы. Если размер величины Q в системе единиц ФВ (1) определится как Q= n₁×[Q1], где ×[Q1]-единица ФВ в системе (1), n₁- числовое значение размера ФВ в этой же системе, то в другой системе единиц ФВ (2), в которой [Q2] не равно [Q1], не изменившийся размер Q будет выражен другим значением Q = n₂ [Q2], но при этом n₂ ¹ n₁. Так, например масса одного и того же батона хлеба может быть 1кг или 2,5 фунта, или диаметр трубы Д=20¢=50,8 см.

Поскольку размерность ФВ представляет собой выражение, отражающее связь с основными величинами системы, в которой коэффициент пропорциональности равен 1, то размерность равна произведению основных ФВ, возведенных в соответствующую степень. Например, в системе LMT размерность производной единицы равна L^aM^bT^g. Записывается это следующим образом:

dim (Q) = L^aM^bT^g (dim от слова «dimension» - размерность), это определяет размерность производной величины Q относительно основных величин L,M,T. Размерность производной величины отражает, во сколько раз изменится ее размер при изменении размеров основных величин. Например, если величина Х равна L^aM^bT^g , и длина изменяется от l до l_1, а масса - от m до m₁, время - от t до t₁, то новый размер величины Х¢ изменится по сравнению с прежним в (l/l₁)^a(m/m₁)^b(t/t₁)^g раз. Вычисление размерности существенно упрощается, если учесть, что при этом выполняется следующие два правила:

1. Если P = RQ, то dim(P)=dim(R) × dim(Q).

2. Если P=R/Q, то dim(R)= dim(R)/dim(Q),

где Р, R и Q - любые физические величины.

Например, размерность:

ускорения -

dim(а)=dim(DV/Dt)=dim(DV)/dim(Dt)=

=(dim(Dl)/dim(Dt))/dim(Dt)=LT^-2;

электрического заряда-

dim(q)=dim(it)=dim(i)dim(t)=IT.

В общем случае, формула размерности для единиц ФВ имеет вид:

[Q] = K [A]^a×[B]^b×[C]^g, где К - некоторое постоянное число.

Если единицы [A], [B] и [C] являются основными, то эта формула определяет размерность производной единицы [Q] относительно основных единиц. Эта формула показывает размерность производной единицы, но ничего не говорит о размере единицы, поскольку множитель К не определен. Коэффициент К желательно выбрать таким, чтобы уравнения связи между величинами формально совпали с уравнениями связи между их числовыми значениями. При этом вычисления по уравнениям физики значительно упрощаются, и снижается риск допустить ошибки в расчетах. Для этого достаточно положить К=1. Тогда производные единицы определяются следующим образом:

[Q] = [A]^a×[B]^b×[C]^g .

Системы единиц, производные единицы которых образуются по выше приведенной формуле, называются согласованными или когерентными. Понятие размерности широко используется в физике, технике и метрологической практике при проверке правильности сложных расчетных формул и выяснении зависимости между ФВ.

На практике часто бывает необходимо использовать безразмерные величины.

Безразмерная ФВ - это величина, в размерность которой основные величины входят в степени, равной 0. Однако следует понимать, что величины, безразмерные в одной системе единиц, могут иметь размерность в другой системе. Например, абсолютная диэлектрическая проницаемость в электростатической системе является безразмерной, в то время как в электромагнитной системе ее размерность равна L^-2 T², а в системе LMTI ее размерность - L^-3 M^-1 T⁴ I².

Единицы той или иной физической величины, как правило, связаны с мерами. Размер единицы измеряемой физической величины принимается равным размеру величины, воспроизводимому мерой. Но на практике одна единица оказывается неудобной для измерения больших и малых размеров данной величины. Поэтому применяется несколько единиц, находящихся в кратных и дольных соотношениях между собой.

Кратная единица ФВ - единица, которая в целое число раз больше, чем основная или производная единица.

Дольная единица ФВ - единица, которая в целое число раз меньше основной или производной единицы.

Кратные и дольные единицы ФВ образуются благодаря соответствующим приставкам к основным единицам. Эти приставки приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Множитель	Приставка
	Обозначение
	Наименова-ние	Русское	Международ-ное
1
10^15	пета	П	Р
10^12	тера	Т	Т
10^9	гига	Г	G
10^6	мега	М	М
10^3	кило	к	k
10^2	гекто	г	h
10^1	дека	да	da
10^-1	деци	д	d
10^-2	санти	с	с
10^-3	мили	м	m
10^-6	микро	мк	m
10^-9	нано	н	n
10^-12	пико	п	р
10^-15	фемто	ф	f

Главной целью функционирования государственной метрологической службы является обеспечение единства измерений величин, соответствующих Международной системе единиц (единиц СИ). С этой целью в РФ действует система государственных эталонов для воспроизведения единиц СИ, включая документы по унификации единиц физических величин, основополагающим из которых является ГОСТ 8.417-81. Объектом стандартизации указанного ГОСТа являются только единицы физических величин. Наименования же физических величин только рекомендуются. В настоящее время введен ГОСТ 8.417-2002 «ГСИ. Единицы величин», в котором унифицированы единицы величин, наименования, обозначения и определения.

ВНИИМ разработал рекомендации по систематизации физических величин по областям измерений. «ГСИ. Метрология. Физические величины и их единицы» - МИ 2630-2000.

Рекомендация состоит из следующих разделов:

1 Область применения.

2 Нормативные ссылки.

3 Общие положения.

4 Единицы Международной системы единиц (СИ).

5 Единицы, не входящие в СИ.

6 Правила образования десятичных кратных и дольных единиц, а также их наименований и обозначений.

7 Правила образования и применения наименований физических величин и единиц.

8 Правила написания размерностей и обозначений физических величин и единиц.

9 Правила написаний обозначений единиц для печатающих устройств с ограниченным набором знаков.

10 Основные и производные физические величины и их единицы, систематизированные по областям измерений.

Приложение А. Единицы количества информации (бит, байт).

Приложение Б. Правила образования производных ФВ и их когерентных единиц СИ.

Приложение В. Соотношение некоторых внесистемных единиц с единицами СИ.

Приложение Г. Рекомендации по выбору десятичных кратных и дольных единиц СИ.

Приложение Д. Библиография.

Приложение Е. Алфавитный указатель ФВ.

Приложение Ж. Алфавитный указатель единиц физических величин.

Впервые понятие системы единиц ввел немецкий ученый К. Гаусс. Он предложил принцип построения таких систем. По этому принципу вначале устанавливают или выбирают несколько физических величин, независимых друг от друга. Единицы этих физических величин называются основными, так как они являются основой для построения всей системы единиц других величин. Метод, основанный на этом принципе имеет три основные особенности:

* не связан с конкретными размерами основных единиц величин;

* построение системы единиц, в принципе, возможно для любых величин, между которыми имеется связь, выражаемая в математической форме в виде уравнения;

* выбор величин, единицы которых должны стать основными, ограничивается соображениями рациональности и, в первую очередь тем, что оптимальным является выбор минимального количества основных единиц величин.

Первоначально были созданы системы единиц, основанные на трех единицах: длина - масса - время (СГС, сантиметр - грамм - секунда).

Рассмотрим наиболее распространенную во всем мире и принятую у нас в стране Международную систему единиц СИ, содержащую семь основных единиц и две дополнительных. Основные единицы ФВ этой системы приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Физическая величина	Размер-ность	Наименова-ние	Обозначе-ние
Длина	L	метр	м
Масса	M	килограмм	кг
Время	T	секунда	с
Сила электрического тока	I	ампер	А
Термодинамическая температура	Q	кельвин	К
Количество вещества	N	моль	моль
Сила света	J	канделла	кд

Дополнительными единицами ФВ являются: плоский угол - радиан (рад, rad), равный углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу;

телесный угол - стерадиан (ср, sr), равный телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

Производные единицы системы СИ образуются с помощью простейших уравнений связи между величинами и, поскольку эта система когерентна, (К=1). В этой системе размерность производной ФВ Q в общем виде определится следующим образом:

[Q] = [L]^a×[M]^g×[T]^b×[I]^d×[Q]^e×[J]^w×[N]^l,где

[L] - единица длины, м

[M] - единица массы, кг

[Т] - единица времени, с

[I] - единица силы тока, А

[Q] - единица термодинамической температуры, К

[J] - единица силы света, кд

[N] - единица количества вещества, моль,

a,b,g,d,e,w,l - целые положительные или отрицательные числа, включая и 0.

Например, размерность единицы скорости в системе СИ будет выглядеть таким образом:

[V]=[L]¹[M]⁰[T]^-1[I]⁰[Q]⁰[J]⁰[N]⁰=[L]¹[T]^-1.

Так как написанное выражение для размерности производной ФВ в системе СИ совпадает с уравнением связи между производной ФВ и единицами основных ФВ, то удобнее пользоваться выражением для размерностей, т.е.

V=LT^-1.

Частота периодического процесса F=T^-1 (Гц).

Сила Þ LMT^-2.

Плотность Þ L^-3M.

Энергия Þ L²MT^-2 .

Подобным образом можно получить любую производную ФВ системы СИ.

Эта система была введена у нас в стране с 1 января 1982 г. по ГОСТ 8.417.

Основные преимущества системы СИ

1. Универсальность - охватывает все области науки, техники и хозяйства.

2. Унификация единиц для всех видов измерений.

3. Применение удобных для практики основных и большинства производных единиц.

4. Когерентность - коэффициент пропорциональности в физических уравнениях, определяющих единицы производных ФВ равен 1.

5. Четкое разграничение единиц массы (кг) и силы (Н).

6. Упрощение записи уравнений и формул из-за отсутствия в них переводных коэффициентов.

7. Облегчение педагогического процесса, так как отпадает необходимость изучения множества систем единиц.

8. Облегчение взаимопонимания в развитии международных научно-технических и экономических связей.

Кроме системных единиц системы СИ у нас в стране узаконено применение и некоторых внесистемных единиц, удобных для практики и традиционно применяющихся:

атмосфера - 9,8 Н/1 см², бар, мм ртутного столба;

ангстрем - 10^-10 м;

киловатт-час;

час - 60 с;

дюйм - для диаметров труб и трубных резьб и др.

Кроме того, применяются логарифмические ФВ - логарифм (десятичный или натуральный) безразмерного отношения одноименных ФВ. Логарифмические ФВ применяют для выражения звукового давления, усиления, ослабления.

Единица логарифмической ФВ - Бел (Б).

1 Б = lg (Р₂ /Р₁₎ при Р₂ = 10 Р₁.

Р₂ и Р₁ - одноименные энергетические величины: мощность, энергия.

Для «силовых» величин (напряжения, сила тока, давление, напряженность поля) Белл определяется по формулам: 1Б = 2lg F₂ /F₁ при

Дольная единица от Белла - децибел 1 дБ = 0,1 Б.

Если Р₂ = 10Р₁, то lg (Р₂ /Р₁₎ = 10 дБ,

если Р₂ = 10²Р₁, то lg (Р₂ /Р₁₎ = 20 дБ, Р₂ = 10³Р₁, то lg (Р₂ /Р₁)= 30 дБ и т.д.

Широкое применение получили относительные ФВ - безразмерные отношения двух одноименных ФВ. Они выражаются в процентах (%), безразмерных единицах.

Контрольные вопросы

1 Что понимается под термином «физическая величина?

2 Что такое «размер, размерность и значение физической величины»?

3 Что понимать под «истинным и действительным значениями физической величины»?

4 Что такое «система единиц физических величин»?

5 Как определяются основные и производные единицы любой системы единиц физических величин?

6 Что представляет собой система единиц СИ?

1.3 Погрешность результата измерения. Виды измерений

Как известно, целью измерительной задачи является получение надежной и достоверной измерительной информации. Идеальную измерительную информацию получить невозможно. Это объясняется тем, что применяемые при измерениях методы и технические средства не являются идеальными, а органы восприятия экспериментатора не могут идеально воспринимать показания приборов, то после завершения процесса измерения остается некоторая неопределенность в наших знаниях об объекте измерения, т.е. получить истинное значение ФВ невозможно.

Неопределенность знаний об измеряемом объекте обычно в метрологической практике принято характеризовать погрешностью результата измерения.

Под погрешностью результата измерений или просто погрешностью измерений - понимается отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины.

Записывается это следующим образом:

D=Х_изм-Х,где

Х _изм - результат измерения, Х - истинное значение ФВ.

Однако поскольку истинное значение ФВ остается неизвестным, то неизвестна и погрешность измерений. Поэтому на практике имеют дело с приближенными значениями погрешности или с так называемыми их оценками. В формулу для оценки погрешности подставляют вместо истинного значения ФВ её действительное значение. Под действительным значением ФВ понимается её значение, полученное опытным путем и настолько приближающиеся к истинному значению, что для данной цели может быть использовано вместо него.

Таким образом, формула для оценки погрешности следующая:

D = Х_изм - Q_д, где

Q_д- действительное значение ФВ.

Каковы же основные причины возникновения погрешности?

Можно выделить 4 основные группы погрешностей измерений:

· Погрешности, обусловленные методиками выполнения измерений (погрешность метода измерений).

· Погрешность средств измерений.

· Погрешность органов чувств наблюдателей (личные погрешности).

· Погрешности, обусловленные влиянием условий измерений.

Все эти погрешности дают суммарную погрешность измерения. Суммарную погрешность измерений принято разделять по характеру проявления на две составляющие - случайную и систематическую погрешности измерений.

Случайная погрешность измерения - составляющая погрешности результатов измерений, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в повторных наблюдениях, проведенных с одинаковой тщательностью одной и той же детерминированной ФВ.

Систематическая погрешность измерения - составляющая погрешности результата измерений, остающаяся постоянной или же закономерно изменяющейся при повторных наблюдениях одной и той же детерминированной ФВ.

Случайная составляющая объясняется влиянием различных случайных факторов: изменением условий проведения измерений и личных причин оператора, проводящего измерения.

Систематическая погрешность возникает из-за несовершенства метода выполнения измерений, погрешностей СИ, неточного знания математической модели измерений, из-за влияния условий, погрешностей градуировки и поверки СИ, личных причин.

Поскольку случайные погрешности результатов измерений являются случайными величинами, в основе их обработки лежат методы теории вероятностей и математической статистики.

Случайная погрешность характеризует такое качество, как точность измерений, а систематическая - правильность измерений.

Различают погрешности абсолютные и относительные.

Абсолютная погрешность - погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины. (Например, погрешность измерения массы в 5 кг - 0,005 г).

Относительная погрешность - это безразмерная величина, определяющаяся отношением абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой ФВ, она может выражаться в процентах (%). Иногда берется отношение абсолютной погрешности к максимальному значению ФВ, которое может быть измерено данным СИ (верхний предел шкалы прибора). Это так называемая приведенная погрешность.

Абсолютная погрешность обозначается знаком D, относительная - d. Она определяется следующим образом:

Поскольку Х_д @ Х_изм (или очень мало отличается от него), то на практике обычно принимается d=D/Х_изм.

Кроме обычной погрешности измерений различают так называемую «грубую» погрешность измерений (промах), о которой было сказано выше.

Как уже отмечалось, в общем случае проявляются одновременно обе составляющие погрешности измерений - случайная и систематическая, поэтому

D= +Q,

где D- суммарная погрешность измерений; она может быть представлена в виде SD.

- случайная составляющая погрешности измерения;

Q - систематическая составляющая погрешности измерения.

Помимо двух указанных погрешностей в метрологической практике принята еще так называемая «грубая погрешность» ил «промах».

Под грубой погрешностью понимают погрешность измерения, существенно превышающую ожидаемую при данных условиях измерений.

Виды измерений

Все измерения могут классифицироваться по следующим признакам:

1 Классификации самой измеряемой ФВ - механические, электрические, оптические, опто-электронные и др.

2 Характеристике точности - равноточные (равно рассеянные) и неравноточные (неравно рассеянные).

3 Числу измерений - однократные и многократные.

4 По отношению к определяемой величине по времени - статические, динамические;

5 Метрологическому назначению - технические, метрологические.

6 Выражению результата измерений - абсолютные, относительные.

7 Общим приемам получения результатов наблюдений, (по способу получения числового значения ФВ) - прямые, косвенные, совместные, совокупные.

Равноточные измерения - ряд измерений какой-либо величины, выполненных одинаковыми по точности СИ и в одних и тех же условиях.

Неравноточные измерения - ряд измерений какой-либо величины, выполненных несколькими различными по точности СИ и (или) в разных условиях.

Однократное измерение - измерение, выполненное один раз.

Многократные измерения - измерения одного и того же размера ФВ, результат которого получен из нескольких следующих друг за другом наблюдений, т.е. состоящих из ряда однократных измерений.

Прямое измерение - измерение ФВ, проводимое прямым методом, при котором искомое значение ФВ получают непосредственно из опытных данных. Прямое измерение производится путем экспериментального сравнения измеряемой ФВ с мерой этой величины или путем отсчета показаний СИ по шкале или цифровому прибору. (Для примера: измерения с помощью линейки, вольтметра, весов).

Уравнение прямого измерения: Q=q[Q].

Косвенное измерение - измерение, проводимое косвенным методом, при котором искомое значение ФВ находят на основании результата прямого измерения другой ФВ, функционально связанной с искомой величиной известной зависимостью между этой ФВ и величиной, получаемой прямым измерением.

Уравнение косвенных измерений имеет вид:

Y=F(x₁,x₂,...,x_i,...,x_n); Y=F(x),

где F - известная функция; n - число прямых измеренных ФВ; х₁, х₂,...х_i,...х_n - значения прямо измеренных ФВ.

Например: определение площади, объема, электрической мощности методом измерения силы тока I и напряжения U, коэффициента полезного действия.

Совокупные измерения - проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях различных сочетаний этих величин.

Совместные измерения - проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных физических величин для определения зависимости между ними.

Пример1. Построение градуировочной характеристики y=f(x) измерительного преобразователя, когда одновременно измеряются наборы значений:

X₁, X₂, X₃ ... X_i... X_n

ß ß ß ß ß

Y₁, Y₂, Y₃... Y_i... Y_n

Пример 2. Определение температурного коэффициента сопротивления (ТКС) путем одновременного измерения сопротивления R и температуры t°, а затем определение зависимости a(t)=DR/D t.

R₁, R₂,... R_i... R_n

Ý Ý Ý Ý.

t₁, t₂,... t_i... t_n

Контрольные вопросы

1 Что такое «погрешность результата измерения»?

2 Какие приняты основные группы погрешностей измерения?

3 Что понимать под систематической и случайной составляющими погрешностями?

4 Что такое «абсолютная и относительная погрешности результата измерения»?

5 Какие приняты виды измерений?

1 4 Интегральная и дифференциальная функции распределения случайных физических величин и случайных погрешностей

Рассмотрим результат наблюдения Х постоянной или так называемой детерминированной ФВ Q как случайную величину (СВ), принимающую значения Х_i в различных наблюдениях.

Наиболее универсальный способ описания СВ заключается в нахождении их интегральных или дифференциальных функций распределения (ФР).

Интегральной функцией распределения результатов наблюдений является зависимость от величины х вероятности Р того, что результат наблюдений Х_i окажется меньше х. Записывается это следующим образом:

F(x)=PíX_i xý=Рí- <X_i xý.

Интегральная функция F(x) обладает следующими свойствами:

1. F(x) - неубывающая функция.

2. F(x) стремится к 1 при х ®+ .

3. F(x) стремится к 0 при х®- .

4. F(x) - функция непрерывная, т.к. результат наблюдений в определенном интервале может принять любое значение.

Однако четвертое свойство обычно на практике не реализуется. Это обусловлено тем, что применяемые СИ имеют конечное разрешение: для стрелочного прибора - это цена деления шкалы (квант ФВ), для цифровых приборов - это цена наименьшего разряда кода. Поэтому реально функция распределения для погрешности имеет ступенчатый вид (рис. 4.1).

Несмотря на это, часто в метрологической практике интегральную функцию распределения считают непрерывной, что значительно упрощает анализ погрешностей.

Для случайной погрешности, как и для случайной величины, также имеется своя интегральная функция распределения.

F_D=PíD_i£Dý=Pí(X_i-Q)£(x-Q)ý=PíX_i£xý.

Более удобно и наглядно описывать свойство результатов наблюдений с помощью дифференциальной функции распределения, которая называется плотностью распределения. Необходимо отметить, что дифференциальные функции результатов наблюдений Х и случайной погрешности совпадают, только начало координат для располагается в нулевой точке.

p_x(x)=dF_x(x)/dx - для результатов наблюдений,

p_D()=dF_D()/d - для погрешности.

График дифференциальной функции распределения или кривой распределения чаще всего представляет собой симметричную функцию с максимумом в точке «Q» для результатов наблюдений (рис. 4.2). Кривая распределения для случайной погрешности также чаще всего представляет собой симметричную функцию, но с максимумом в точке «0» (Рис. 4.3).

Рис. 4.2

Рис.4.3

Интегральная функция связана с дифференциальной следующим образом:

F_x(x)= p_x(x)dx, поскольку F_x()=1, то p_x(x)dx=1, т.е. площадь под кривой функции распределения равна 1. Это и есть так называемое условие нормировки.

Размерность плотности распределения вероятностей обратна размерности измеряемой физической величины, т.к. интегральная функция распределения является безразмерной. Используя понятие функции распределения, можно получить выражение для вероятности того, что результат наблюдений находится в полуоткрытых интервалах [x₁, x₂] или [ ₁, ₂].

P{x₁<X£x₂}=P{- <X£x₂}-P{- <X£x₁}=F_x(x₂)-F_x(x₁);

p_D()

= P{ ₁< £ ₂}=P{- < £ ₂}-P{- < £ ₁}=F_D( ₂)-F_D( ₁).

Это выражение говорит о том, что вероятность попадания результата наблюдения Х или случайной погрешности измерения в заданный интервал равнаразности значений интегральной функции распределения на указанных границах этого интервала.

Если выразить эту вероятность через дифференциальную функцию распределения или плотность распределения вероятности, то получим:

P{x₁<x£x₂}=F_x(x₂)-F_x(x₁)= p_x(x)dx - p_x(x)dx= p_x(x)dx;

P{ ₁< £ ₂}=F_D( ₂)-F_D( ₁)= p_D()d -

- p_D()d = p_D()d .

Т.е. вероятность попадания результата наблюдений Х или случайной погрешности в заданный интервал численно равна площади под кривой плотности распределения вероятности, ограниченной границами интервала (рис. 4.4).

Произведение p_x(x)dx называется элементом вероятности. В том случае, когда закон распределения плотности вероятности близок к так называемому «нормальному закону», как видно из графика дифференциальной функции распределения, наиболее вероятны малые значения погрешностей. Вероятность появления больших погрешностей значительно меньше. Результаты наблюдений сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой ФВ, и по мере приближения к нему элементы вероятности возрастают. Это дает основание принять за оценку истинного значения ФВ абсциссу центра тяжести фигуры, образованной осью абсцисс и кривой плотности распределения. Эта характеристика случайной величины называется математическим ожиданием (рис.4.5).

M[Х]=m_x=

Теперь можно дать математически строгое определение случайной и систематической погрешности.

Систематической погрешностью Q называется отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой физической величины: Q=M[X]-Q.

Случайной погрешностью называется разность между результатом единичного наблюдения и математическим ожиданием результатов наблюдений:

=X-M[X].

Отсюда истинное значение измеряемой физической величины равно:

Q=X-Q- .

Контрольные вопросы

1 Что такое «интегральная функция распределения»?

2 Каковы свойства интегральной функции распределения?

3 Что такое «дифференциальная функция распределения»?

4 Как математически определяются случайная и систематическая составляющие суммарной погрешности измерения?

Дата добавления: 2014-12-16